Учебное пособие: Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей

Приклад 3. Для виготовлення деталі придатними є валики з діаметром 11,99 - 12,20 мм. Автомат виготовляє 1 % валиків, діаметр яких менший від 11,99 мм, і 2 % - діаметр яких більший за 12,20 мм. Яка ймовірність того, що навмання взятий з виробленої партії валик буде непридатний для виготовлення деталі?

Нехай А - подія, ймовірність якої треба визначити. Тоді Ặ - подія, яка полягає в тому, що навмання взятий валик придатний.

За формулою (3) знаходимо

§ 8. Теорема додавання ймовірностей довільних подій

Теорема. Якщо А i В - довільні події, то

Якщо події А і В несумісні, то Р(А ∩ В) = Ø, і правильність формули(1) випливає з рівності (1) § 7.

Віднявши від рівності (4) рівність (2), знаходимо

Р(А) + Р(В) = Р(А US)- P(A∩ В),

звідки і випливає рівність (1).

Приклад 2. У групі 30 учнів. З них 12 вивчають німецьку мову, 15 - англійську, 5 - англійську і німецьку, а решта - інші мови. Яка ймовірність того, що навмання вибраний учень вивчає англійську або німецьку?

Позначимо події: А - навмання вибраний учень вивчає німецьку мову; В - навмання вибраний учень вивчає англійську мову. За умовою n(A) = 12, п(В) = 15. Події А і В є сумісними, оскільки А∩В≠Øі n (А∩В) = 5 (рис. 305). Тоді

§ 9. Умовні ймовірності

Часто одна подія А впливає на можливість появи іншої події. В цьому випадку події А і В називають залежними. Нехай, наприклад, з урни, в якій 15 білих і 10 чорних куль, навмання виймають послідовно одну за одною дві кулі. Розглянемо події: А - перша куля біла, В - друга куля біла. Зрозуміло, що Р(А) = 15/25=3/5. Якою буде ймовірність події В?

Якщо подія А відбулася, то серед 24 куль, що залишилися, білих 14 і Р(В) =14/24=7/12; якщо ж подія А не відбулася (перша куля виявилася чорною), то Р{В) =15/24= 5/8.

Отже, ймовірність появи події В залежить від здійснення події А, тобто А і В - залежні події. У такому випадку кажуть, що ймовірність появи події В умовна.

Означення. Нехай А і В - довільні події. Умовною ймовірністю Р(В/А) події В називають ймовірність події B, знайдену в припущенні, що подія А вже відбулася.

Теорема. ЯкщоAiВ- довільні події, причому Р(А) ≠0, то

Р(АПВ) = Р(А)-Р(В/А).(1)

Нехай для події А сприятливими є т рівноможливих наслідків випробування із загальної їх кількості п, а для події А ∩ В – k(рис. 306). Тоді

Пр?