Учебное пособие: Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей

Розглянемо спочатку приклад.

Припустимо, що в урні містяться 5 білих, 3 чорних, 2 червоних і 7 синіх куль. Знайдемо ймовірність того, що з урни вийняли кулю білого або чорного кольору.

Нехай подія А - поява білої кулі, В - поява чорної кулі, С = AUВ -поява білої або чорної кулі. Оскільки події С сприяють 8 наслідків, а число усіх куль в урні дорівнює 17, то Р(С) = Р(А UВ) = 8/17 .

Цю ж імовірність можна знайти інакше: Р(А) =5/17, Р(В) = 3/17, отже,Р{А) + Р(В) = 8/17. Таким чином, Р(А UB) = Р(А) + Р(В).

Теорема 1. Якщо події А і В несумісні (А ∩ В = 0 ), то

Р(А UВ) = Р(А) + Р{В). (1)

Нехай із числа п усіх рівно можливих наслідків m₁ результатів є сприятливими для події А, а т₂ - для події В. Оскільки події А і В несумісні, то поява події А виключає появу події В і навпаки, тому число випробувань, сприятливих для події AUВ, дорівнює m₁ + т₂ . Звідси на основі класичного означення ймовірності дістаємо

що й треба було довести.

Наслідок 1. Якщо події А₁ , А₂ , ..., А_n попарно несумісні (тобто A_i ∩ A_j = 0 при і≠ j, i,j = 1, 2, ..., п), то

Формула (2) є узагальненням формули (1).

Наслідок 2. Ймовірність протилежної до А події А дорівнює

Справді, оскільки AUА = Ω, (Ω- простір елементарних подій) і P(Ω) = 1, то за теоремою 1 маємо

звідки і дістаємо (3).

Наслідок 3. Якщо попарно несумісні події А₁ , А₂ , •...• А_n утворюють повну групу, то сума ймовірностей цих подій дорівнює 1.

Оскільки А₁ U А₂ U• … • UА_n = Ω і P(Ω) = 1, то за формулою (2) маємо

P(А₁ )+P( А₂ )+...+P(А_n )=1. (4)

Приклад 1. У лотереї розігруються 1000 білетів, з них на один припадає виграш 5000 грн., на 10 білетів - виграш по 1000 грн, на 50 білетів -виграш 200 грн, на 100 білетів - виграш 50 грн. Решта білетів невиграшні. Знайти ймовірність виграшу на один білет не менш як 200 грн.

Позначимо події: А - виграш не менш як 200 грн, А₁ - виграш 200 грн, А₂ - виграш 1000 грн, A₃ - виграш 5000 грн.

Подія А виражається через об'єднання трьох несумісних подій А₁ , А₂ , А₃ , тобто А = А₁ U А₂ UА₃ . За теоремою 1 дістанемо

P(A)=P(А₁ )+P( А₂ )+.P(А₃ ),

або

P(A)= 0,050+ 0,010+ 0,001 = 0,061.

Приклад 2. При прийманні партії підлягає перевірці половина виробів. Умовами приймання передбачається не більше, ніж 2 % бракованих виробів. Визначити ймовірність того, що партію з 100 виробів, яка містить 5 % браку, буде прийнято.

Оскільки 2 % від 50 дорівнює одиниці, то через А позначимо подію, яка полягає в тому, що під час перевірки не отримано жодного бракованого виробу, а через В - лише один бракований виріб. Партію з 100 виробів, яка містить 5 % браку (тобто 5 бракованих виробів), буде прийнято за умови, що має місце або подія А, або подія В. Події А і В є несумісними. Тому за формулою (1) шуканою є ймовірність події C = AUB.

Із 100 виробів 50 можна вибрати C⁵⁰ ₁₀₀ ) способами. Із 95 небракова-них виробів 50 можна вибрати C⁵⁰ ₉₅ способами. Тому