Учебное пособие: Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей

§ 6. Геометричні ймовірності

Класичне означення ймовірності ґрунтується на тому, що випробування має скінченну кількість наслідків. Проте є досліди, які мають нескінченну кількість наслідків.

Наприклад, нехай на площині міститься область Ω. і в ній міститься інша область А (рис. 300).

Припустимо, що в область Ωнавмання кидають точку. Як визначити ймовірність того, що кинута точка потрапить до області А?Природно вважати, що ймовірність попадання точки до області А пропорційна площі цієї області і не залежить від розміщення та форми цієї області.

Підмножини області Ω, які мають площу, називатимемо в такому разі випадковими подіями. Якщо А - випадкова подія, то вважатимемо, що

(1)

де S(A) – площаA, S(Ω.) -площа Ω.

Ймовірності, що подаються як відношення площ областей (довжин відрізків, об'ємів тіл), називають щегеометричними ймовірностями.

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що навмання взята точка з круга радіуса Rналежатиме квадрату, вписаному в коло, яке обмежує круг (рис. 301).

За означенням геометричної ймовірності маємо

де S₁ - площа квадрата AВCD; S- площа круга радіуса R.

Оскільки АВ² = 2R² , то S₁ = 2R² . Тому

На перший погляд здається, що геометричні ймовірності є мало корисними для застосувань. Проте це не так. Багато задач, серед яких і ті, що висуваються практикою, врешті-решт зводяться до відшукання ймовірності попадання точки в деяку область.

Приклад 2 (задача Бюффона). Нехай на площині проведено паралельні прямі так, що відстань між сусідніми прямими дорівнює 2а. На площину навмання кидають голку завдовжки 2l, l<а. Яка ймовірність того, що голка перетне якусь із цих прямих?

Положення голки однозначно визначається величиною кута де та відстанню від середини голки до найближчої прямої (рис. 302). Отже, можна взяти за простір Ωелементарних наслідків прямокутник, 0<у<а. Оскільки з ΔACBD= ВС = ABsinx = lsinx, то голка перетне пряму тільки тоді, коли у < d, тобто

(2)

Точки, координати яких задовольняють нерівності (2), утворюють фігуру, заштриховану на рис. 303. Згідно з рівністю (1) площа цієї фігури, поділена на площу прямокутника, і буде дорівнювати шуканій імовірності. Площа прямокутника . Площа заштрихованої фігури

Формула (3) є корисною при розв'язуванні багатьох задач. Зокрема, користуючись цією формулою, можна наближено обчислити число п. Справді, з формули (3) маємо

Нехай голку кинуто п разів і т разів вона перетнула пряму. При досить великих п віднось Тому при досить великих п відносна частота як завгодно мало відрізняється від імовірності Р(А). Тому

Під час проведення випробувань голку було кинуто 5000 разів, причому найближчу пряму вона перетнула 2532 рази. Довжина голки була 36 мм, відстань між паралельними прямими 45 мм. Отже,