Учебное пособие: Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей
Прийнято вважати це невідоме число р статистичною ймовірністю появи "герба" при підкиданні несиметричної монети.
Означення. Ймовірністю події А називається невідоме число р, навколо якого зосереджується значення відносної частоти події А при зростанні числа випробувань.
Щойно наведене означення ймовірності називають статистичним. Отже,
Рп (А)≈Р(А) = р,(2)
де Р(А) - ймовірність події А; Рп (А) - відносна частота; п -кількість випробувань.
Наближена рівність (2), яка виражає властивість стійкості відносних частот, є однією з найважливіших закономірностей масових випадкових подій.
Приклад. Із 1000 довільно вибраних деталей приблизно 3 браковані. Скільки бракованих деталей приблизно буде серед 2100 деталей?
Позначимо через А подію, коли навмання взята деталь бракована. Тоді відносна частота
Якщо серед 2100 деталей виявиться х бракованих, то ймовірність події А
Оскільки Рп (А) ≈ Р(А), то 
, звідки х = 6.
§ 5. Зв'язок теорії ймовірностей з теорією множин
Множину всіх можливих наслідків випробування називають основним простором або простором елементарних подій (наслідків) і позначають Q. Наслідок позначають со.
Випадковою подією (наслідком) називається будь-яка підмножинаЛ простору Q, тобто будь-яка множина наслідків. Наслідки, які утворюють подію А, називають сприятливими для А (соє А). Подія А настає тоді і тільки тоді, коли настає елементарна подія (наслідок), сприятлива для А.
Тому теорія ймовірностей і теорія множин мають багато спільного. Втім, в них йдеться про одне й те саме різними словами, що видно з такої таблиці:
Приклад. Підкидають два гральних кубики. Подія А - сума очок, які з'явились, дорівнює 10; подія В - принаймні один раз з'явиться шістка. Опишіть простір елементарних подій та події AUВ і А ∩ В.
Простір елементарних подій, або множину можливих наслідків випробування, можна записати як набір усіх можливих впорядкованих пар чисел від 1 до 6 (кожну із шести граней першого кубика можна розглядати у парі з будь-якою гранню другого кубика). Отже,
Ω = {(1; 1), (1; 2),...(1; 6), (2; 1), ..., (6; 5), (6; 6)}.
Всього за правилом добутку маємо 6 • 6 = 36 елементів.
Подію А задаємо переліком елементів, які її складають:
А = {(4; 6), (5; 5), (6; 4)}.
Аналогічно
В={(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6)}.
Об'єднання AUВ - подія, яка полягає в тому, що відбудеться хоча б одна з подій А або В. Тому AUВ означає, що або сума очок на гранях, які випали, дорівнює 10, або принаймні один раз з'явиться шістка.
Оскільки елементи (4; 6) і (6; 4) входять одночасно ідо А, ідо В, то
AUB = ((5; 5)}UB.
Подія А ∩ В складається з двох елементів, які входять і до А, і до В: