Учебное пособие: Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей

Позначають

(1)

де п - загальна кількість всіх рівноможливих результатів експерименту;

т - кількість результатів експерименту, сприятливих для події А.

Розглянуте означення ймовірності називають класичним. Із класичного означення ймовірності випливають такі властивості:

1. Ймовірність кожної події А є невід'ємним числом, що не перевищує одиниці. Справді, число т випробувань, сприятливих для події А, справджує нерівності 0 < т < п , звідки тобто

2. Ймовірність неможливої події Vдорівнює нулю: P(V) = 0 . Дійсно,

за формулою (1)

Приклад 1. У коробці міститься шість однакових занумерованих куль. Довільно по одній виймають усі кулі. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих куль зростатимуть.

Позначимо через А подію, ймовірність якої треба знайти. Наслідками випробувань є перестановки з шести елементів. Отже, число всіх можливих випадків п = Р₆ =6! = 720. Для події А сприятливим є лише один наслідок випробування, тобто т = 1. Тому

Приклад 2. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри і, пам'ятаючи що всі вони різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібний номер телефону.

Нехай А - подія, ймовірність якої треба знайти. У цьому випадку п = А³ ₁₀ , т = 1. Тоді

Приклад 3. Партія з 10 деталей має 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед вибраних навмання шести деталей чотири стандартні.

Нехай А - подія, ймовірність якої треби знайти. У цьому випадку п = C⁶ ₁₀ . Щоб знайти число наслідків випробувань, в яких чотири стандартні деталі, діємо так: вибираємо ці 4 деталі із загальної їх кількості. Це можна зробити С₇ ⁴ способами. Решту 6-4 = 2 нестандартних деталей можна вибрати С₃ ² способами. За правилом добутку число наслідків випробувань, що сприяють появі події А, буде т = С₇ ⁴ · С₃ ² . Шукана ймовірність дорівнює

§ 4. Статистична ймовірність

Нехай виконуються випробування, які можна повторити будь-яку кількість разів, і нехай при багаторазовому повторенні випробування події, які відбулися в попередніх випробуваннях, ніяк не впливають на події, що відбудуться у даному випробуванні.

Якщо проведено п однакових випробувань і · т - число випробувань, в яких відбулася подія А, то відношення називають відносною частотою події А у проведеній серії випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою

Теорія ймовірностей розглядає лише такі події, для яких характерна властивість стійкості відносних частот. Ця властивість полягає в тому, що відносна частота події А при великій кількості випробувань мало відрізняється від деякого числа.

Нехай маємо таблицю, де наведено результати дослідів, пов'язаних із підкиданням симетричної монети:

Число підкидань 4040 2048 0,5069

Число появ "герба" 12000 6019 0,5016

Відносна частота 24000 12012 0,5005

Тут відносні частоти відхиляються від числа 0,5 тим менше, чим більша кількість випробувань. Проте число 0,5 є класичною ймовірністю випадання "герба" при одному підкиданні симетричної монети.

Як бачимо, означення класичної ймовірності не вимагає, щоб випробування насправді виконувались: означення відносної частоти вимагає, щоб випробування були фактично виконані. Іншими словами, класичну ймовірність обчислюють до досліду, а відносну частоту - після досліду.

Проте класична ймовірність має обмежене застосування, оскільки далеко не завжди в реальних умовах можна виділити рівноможливі випадки у скінченній кількості.