Учебное пособие: Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами
При построении моделей стремятся к их простоте при максимальной адекватности оригиналам. В частности, принимают гипотезу о линейности оператора, что принципиально упрощает анализ и синтез.
Если принцип суперпозиции не выполняется, то оператор называется нелинейным. Разумеется, класс нелинейных операторов много богаче класса линейных.
Оператор стационарен , если его характеристики инвариантны ко времени. Другими словами, при сдвиге во времени входного воздействия без изменения его формы реакция претерпевает такой же сдвиг во времени без изменения своей формы. В ряде случаев модели должны отражать изменение свойств объекта во времени, тогда вводятся в рассмотрение нестационарные операторы 
Нестационарность оператора учитывает воздействие среды принципиально иного характера, чем сигнальный вход f (t ). В простейшем случае нестационарность сводится к изменению параметров модели, например коэффициентов дифференциального уравнения. В общем случае влияние среды приводит к необходимости изменения структуры оператора, например порядка дифференциального уравнения.
Если вариации оператора происходят много медленнее основных процессов, то вместо нестационарного оператора рассматривают множество стационарных операторов, различающихся значениями параметров. Описание объекта множеством равновероятных операторов содержит неопределенность . Если параметры модели заданы с точностью до интервалов значений, то о таких системах говорят, что они интервальные .
Оператор может быть детерминированным или стохастичным . В случае стохастичных операторов параметры представляются как случайные величины и задаются их вероятностные характеристики.
Объекты управления могут быть с сосредоточенными или распределенными параметрами. В последнем случае они описываются уравнениями в частных производных (разностях).
1.2 Классы моделей
Модель объекта или системы управления принадлежит тому же классу, что и описывающий их оператор преобразования. Выделяют следующие признаки классов систем с непрерывным и дискретным временем:
• линейные Л или нелинейные Л ;
• стационарные С или нестационарные С ;
• детерминированные Д или стохастичные Д ;
• сосредоточенные (конечномерные) К или распределенные (бесконечномерные) К .
Эти четыре независимых признака биальтернативны, поэтому можно насчитать всего 24 = 16 классов непрерывных и столько же дискретных систем.
Простейший класс – ЛСДК – линейные стационарные детерминированные конечномерные системы. Они имеют форму обыкновенных линейных дифференциальных (разностных) уравнений с постоянными детерминированными коэффициентами. Математика разработала весьма развитый аппарат анализа этого класса систем.
Более сложные классы операторов получаются при введении одного из альтернативных признаков:
Л СДК; ЛС ДК; ЛСД К; ЛСДК .
Для таких систем существует незначительное число общих методов аналитического исследования, разработанных только для частных случаев. Операторы второго уровня сложности получаются введением двух отрицаний:
ЛС ДК; Л СД К; Л СДК ; ЛСД К; ЛС ДК ; ЛСДК .
При трех отрицаниях получаем операторы третьего уровня сложности:
ЛСД К; Л СДК ; ЛС ДК ; ЛСДК .
Операторы четвертого уровня сложности – ЛСДК – нелинейные нестационарные стохастичные бесконечномерные. Им соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с переменными случайными параметрами.
Для систем, описываемых операторами второго и выше уровней сложности, имеется, как правило, только единственная возможность их анализа и синтеза путем вычислительных экспериментов.
Если модель системы образована элементами различных классов, то класс системы определяется классом элемента с максимальным числом отрицаний.
Система называется автономной , если на нее не действуют внешние силы, в том числе параметрического типа. Автономные системы, таким образом, стационарны. Изменение их состояния происходит в силу накопленной ранее энергии. На рис.2 модель среды представлена в виде автономной системы, имеющей выходы, но не имеющей входов. Движения автономной системы называют свободными.
Дифференциальные уравнения автономных систем включают переменные системы и их производные, но не содержат переменных, описывающих воздействия среды, и имеют постоянные параметры. Это так называемые однородные дифференциальные уравнения
| |||||||||||
,