Учебное пособие: Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами

. (12)

Полюсы передаточной функции s ₁ = -1; s ₂ = -2. Разложение (12) на сумму простейших дробей имеет вид:

.

Обратное преобразование Лапласа дает

.

Переходная характеристика h (t ) представляет собой реакцию системы на единичную ступенчатую функцию I (t ) при нулевых начальных условиях. Поскольку , то .

Полюсами изображения являются полюс воздействия s ₁ = 0 и полюсы передаточной функции. Легко убедится, что

, .

Пример. Рассмотрим получение переходной характеристики системы с передаточной функцией (12). Разложение изображения H (s ) на сумму простейших дробей:

,

где

;

;

.

Следовательно, переходная характеристика описывается функцией

.

В общем случае произвольного воздействия разложение изображения переменной выхода (7) запишется так:

, (13)

где s_i , i = 1, …, n – полюсы передаточной функции W (s ); s_k , k = 1, …, n_F – полюсы изображения воздействия F (s ); принято, что , т. е. полюсы воздействия не равны полюсам передаточной функции (нет обобщенного резонанса).

В выражении (13) первая группа слагаемых определяет переходную составляющую вынужденного движения y _пер (t ); вторая группа – установившаяся составляющая вынужденного движения y _уст (t ), третья – свободные движения y _св (t ):

.

Установившееся вынужденное движение y _уст (t ) обусловлено полюсами изображения воздействия s_k ; переходная составляющая вынужденного движения y _пер (t ) образуется из-за ненулевых посленачальных условий (изменение начальных условий приложением в момент времени t = 0 конкретного воздействия) и определяется полюсами передаточной функции; свободные движения y _св (t ) имеют место при ненулевых предначальных условиях и также определяются полюсами передаточной функции.

Если анализируется автономная система автоматического управления M_s , представленная в форме однородного дифференциального уравнения

; y (0),

то его решение имеет вид:

. (14)

Если изображение Y (s ) имеет кратные полюсы, то вместо формул (13), (14) записываются более сложные выражения.

2.3 Построение частотных характеристик

Частотные характеристики (6) – амплитудную R ( ) и фазовую можно получать экспериментальным путем, если удается подавать на вход устойчивого объекта гармонические воздействия различных частот из диапазона существенного для выявления требуемых свойств объекта. Статистические методы непараметрической идентификации (спектральный анализ) позволяют оценить значения частотных характеристик путем обработки временных последовательностей на входе и выходе объекта.