Учебное пособие: Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами

2.2 Построение временных характеристик

Временные характеристики – импульсная переходная функция w (t ) и переходная характеристика h (t ) могут быть получены экспериментально, если удается подать на вход объекта воздействие в виде достаточно узкого импульса с необходимой амплитудой или ступенчатой функцией времени. Последнее более реально – функцию веса w (t ) впоследствии можно получать дифференцированием функции h (t ).

Статистические методы непараметрической идентификации позволяют оценить ординаты функции веса w (t ) путем обработки данных вход-выход объекта в виде случайных сигналов, возможных в режиме нормальной эксплуатации (корреляционный анализ).

Существуют методы построения временных характеристик по частотным, базирующиеся на обратном преобразовании Фурье. В случае, когда исходная информация об объекте представлена в форме дифференциального уравнения (1), временные характеристики получают его решением.

В классической теории автоматического управления для решения дифференциальных уравнений часто привлекают так называемый операторный метод, связанный с преобразованием Лапласа. Метод особенно удобен в случае типовых воздействий в виде обобщенных функций и позволяет легко учесть ненулевые начальные условия.

Пусть дано дифференциальное уравнение n -порядка звена или системы автоматического управления (2). Необходимо получить выражения для импульсной переходной функции (функции веса) w (t ), переходной характеристики h (t ), а также для реакции в случае воздействия общего вида. Пусть изображение по Лапласу воздействия на входе системы или звена представляет собой дробно-рациональную функцию от s:

.

Если преобразовать по Лапласу дифференциальное уравнение n -го порядка при ненулевых предначальных условиях, то после разрешения полученного алгебраического уравнения относительно изображения переменной выхода имеем

. (7)

Здесь полином A_H (s ) определяется предначальными условиями. Если все предначальные условия нулевые, то изображение выхода

где W (s ) – передаточная функция.

Искомое решение – переменная на выходе системы (оригинал) получается обратным преобразованием Лапласа:

(8)

где с – абсцисса сходимости.

Формула обращения Римана – Меллина устанавливает однозначное соответствие между оригиналом и изображением в точках непрерывности оригинала. Имеются алгоритмы и программы, позволяющие вычислять интеграл (8) при произвольных функциях Y (s ). Практическое вычисление оригинала у (t ) удобно производить, основываясь на теореме о вычетах, согласно которой значение интеграла (8) может быть представлено суммой вычетов подынтегральной функции,

,

где Res Y (s ) – вычет функции Y (s ) в полюсе s_i ; i = 1,...,n_Y ; n_Y – число полюсов изображения Y (s ); при t <0 функция у (t ) = 0.

Для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и типовых воздействий изображение Y (s ) является дробно-рациональной функцией, которую можно представить в виде суммы простейших дробей:

, (9)

где – производная полинома A_Y по s; s_i – простые полюсы;

Оригинал y (t ) в соответствии с разложением (9) имеет вид:

.

Импульсная переходная функция (функция веса) w (t ) представляет собой реакцию системы на -функцию при нулевых начальных условиях. Поскольку изображение -функции , то функция веса представляет собой обращение по Лапласу передаточной функции и.

Разложение передаточной функции на сумму простейших дробей в случае простых полюсов s_i ; i = 1, …, n имеет вид:

, (10)

где C_i – коэффициент разложения (вычета),

. (11)