Учебное пособие: Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам 2

Подставим сюда значение R₀ из (4):

Из этой формулы определяем знаменатель для (4). Кроме того, определяем порядок

Для правильно реализованных алгоритмов методов априорных и апостериорных порядки должны получиться совпадающими. Программная реализация формул Рунге позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется автоматически. Пример – уже рассмотренная ранее формула Ромберга.

6. Численное дифференцирование

Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования – выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином) , для которой приближенно полагают .

Численное дифференцирование – некорректная задача, так как отсутствует устойчивость решения. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то все значащие цифры могут быть потеряны. На графике кривая (1) соответствует уменьшению погрешности дифференцирования при уменьшении шага; кривая (2) представляет собой неограниченно возрастающий (осциллирующий) вклад неустранимой погрешности исходных данных – значений функции y(x). Критерий выхода за оптимальный шаг при его уменьшении – «разболтка» решения: зависимость результатов вычислений становится нерегулярно зависящей от величины шага.

Пусть введена как интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае для произвольной неравномерной сетки:

, для i = 0,1…n-1, интерполяция полиномом первой степени.

, интерполяция полиномом второй степени.

В общем случае

Минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k + 1.

Оценка погрешности при численном дифференцировании может быть осуществлена по формуле

где n – число узлов функции, k – порядок производной.

На практике чаще всего используются упрощенные формулы для равномерной сетки, при этом точность нередко повышается. Часто используются следующие формулы для трех узлов:

, где h = x₁ – x₀ = const.

Исходя из общего вида интерполяционного полинома можно вывести формулы для более высокого порядка точности или для более высоких производных.

7. Численное решение систем линейных уравнений

Классы задач линейной алгебры

При численном решении большого круга задач в конечном итоге происходит их линеаризация, в связи с чем в соответствующих алгоритмах весьма широко используются методы линейной алгебры. В их числе:

· решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);

· вычисление определителей матриц ;

· нахождение обратных матриц ;

· определение собственных значений и собственных векторов матриц ;

Постановка задачи решения СЛАУ:

, (1)

где – квадратная матрица коэффициентов размерности n, – вектор неизвестных, – вектор свободных коэффициентов. Иногда СЛАУ представляют в виде расширенной матрицы размерности n × n+1, где в качестве последнего столбца фигурирует вектор свободных коэффициентов. В координатном представлении такая СЛАУ выглядит следующим образом: