Учебное пособие: Понятие многомерной случайной величины
где т = 1, 2, 3,…; p и q – биномиальные параметры. Математическое ожидание геометрического распределения
M(m)= 1/p, (6)
а дисперсия σ2 = D(m) = q/p2 . (7)
Например, число деталей, которые мы должны отобрать дотого, как найдем первую дефектную деталь, есть случайная величина, распределенная по геометрическому закону. В чем здесь смысл математического ожидания? Если доля дефектных деталей равна 0, 1, то вполне логично, что в среднем мы будем иметь выборки, состоящие из 10 деталей до тех пор, пока не встретим дефектную деталь.
Непрерывные случайные величины
Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения на числовом интервале.
Примеры непрерывных случайных величин: возраст студентов, длина ступни ноги человека, масса детали и т.д. Это положение относится ко всем случайным величинам, измеряемым на непрерывной шкале, таким как меры веса, длины, времени, температуры, расстояния. Измерение может быть проведено с точностью до какого-нибудь десятичного знака, но случайная величина – теоретически непрерывная величина. В экономическом анализе находят широкое применение относительные величины, различные индексы экономического состояния, которые также вычисляются с определенной точностью, скажем, до двух знаков после запятой, хотя теоретически их значения – непрерывные случайные величины.
У непрерывной случайной величины возможные значения заполняют некоторый интервал (или сегмент) с конечными или бесконечными границами.
Закон распределения непрерывной случайной величины можно задать в виде интегральной функции распределения, являющейся наиболее общей формой задания закона распределения случайной величины, а также в виде дифференциальной функции (плотностираспределения вероятностей), которая используется для описания распределения вероятностей только непрерывной случайной величины.
Функция распределения (или интегральная функция) F(x) – универсальная форма задания закона распределения случайной величины. Для непрерывной случайной величины функция распределения также определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е.
F(x) = F(X<x). (8)
При изменении х меняются вероятности Р (Х <x) = F(x). Поэтому F(x) и рассматривают как функцию переменной величины. Принято считать, что случайная величина X известна, если известна ее функция распределения F(x).
Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1, т.е. 0 ≤ F(x) ≤ 1.
Функция распределения есть неубывающая функция, т.е. F(x2 )≥ F(x1 ), если х2 > х1 . Тогда P(x1 ≤ Х <х2 ) = P (Х <х2 ) – P (Х <х1 ) = F(x2 ) –
– F(x1 ).
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то P(x1 ≤ Х <х2 ) ³ 0, а следовательно, F(x2 ) – F(x1 ) ≥ 0и F(x2 ) ≥ F(x1 ).
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (α, β), равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е.
P (α ≤ Х <β) = F(β) – F(α). (9)
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.
Р (Х = х1 ) = 0. (10)
Согласно сказанному, равенство нулю вероятности Р (Х = х1 ) не всегда означает, что событие Х = х1 невозможно. Говоря о вероятности события Х = х1 , априорно пытаются угадать, какое значение примет случайная величина в опыте.
Если х1 лежит в области возможных значений непрерывной случайной величины X, то с некоторой уверенностью можно предсказать область, в которую случайная величина может попасть. В то же время невозможно хотя бы с малейшей степенью уверенности угадать, какое конкретное значение из бесконечного числа возможных примет непрерывная случайная величина.
Из перечисленных выше свойств F(х) может быть представлен график функции распределения (рис. 1).
Рис. 1. График функции распределения непрерывной случайной величины
График функции распределения смешанной случайной величины – кусочно-непрерывная функция (рис. 2).
Рис. 2. График кусочно-непрерывной функции распределения
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция W(x), равная первой производной от функции распределения F(x),