Учебное пособие: Понятие многомерной случайной величины

где W(x) – дифференциальная функция распределения. Дифференциальная функция применяется только для описания распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от α до β,

P(α <X< β) = . (2)

Используя соотношения (2) и (1), получим P (α ≤ X< β) = P (α <<X<< β) = .

Геометрически этот результат равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения W(x) и прямымих = α, х = β.

Зная плотность распределения W(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

F(x) = . (3)

В самом деле, так как неравенство X <х можно записать в виде двойного неравенства – ∞ <X <х, то F(x) = P (– ∞ <X < х) = (рис. 3).

Рис. 3. Связь функции распределения с плотностью распределения вероятностей

Таким образом, для полной характеристики непрерывной случайной величины достаточно задать функцию распределения или плотность ее вероятности.

1. Дифференциальная функция – неотрицательная функция:

W(x) ≥ 0. (4)

Это следует из того, что F(x) – неубывающая функция, а значит, ее производная неотрицательна.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от – ∞ до + ∞ равен 1

. (5)

Очевидно, что этот интеграл выражает вероятность достоверного события – ∞ <Х + ∞.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида

М(Х) =. (6)

Дисперсией непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида

D(x) = σ² =. (7)

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии

σ = . (8)

Для числовых характеристик непрерывных случайных величин справедливы те же свойства, что и для дискретных. В частности, для дисперсии непрерывной случайной величины справедлива формула

D(X)=. (9)

Начальным моментом k-го порядка(m_k ) случайной величины X называется математическое ожидание ее k-й степени:

для дискретной случайной величиныm_k =;

для непрерывной случайной величиныm_k = . (10)

Центральным моментом k-го порядка (μ_к ) случайной величины X называют математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины X от ее математического ожидания: