Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика
Решение: Обозначим А={событие А произошло в опыте}, В={событие В произошло в опыте}
Тогда А×В={события А и В произошли в опыте одновременно}.
Р(А)=0,75; Р(В)=0,4; Р(А×В)=0,25.
Используя теорему о сумме двух совместных событий получим
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А×В)=0,75+0,4-0,25=0,9.
Пример 5. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность появления брака во время первой операции равна 0,02, второй- 0,01, третьей- 0,03. Найти вероятность: а) выхода стандартной детали, считая появление брака во время отдельных операций независимыми событиями; б) выхода бракованной детали.
Решение: а) введем события А={на выходе появилась стандартная деталь}, Аi ={i-я операция обработки прошла без брака}, i=1,2,3. Тогда А=А1 ×А2 ×А3. По условию задачи Р(А1 )=0,98; Р(А2 )=0,99; Р(А3 )=0,97.Используя теорему умножения для независимых событий, получаем.
Р(А)=Р(А1 ×А2 ×А3 )=Р(А1 )×Р(А2 )×Р(А3 )=0,98×0,99×0,97=0,9411.
б)
={на выходе появилась бракованная деталь}.Тогда
Пример_6. Партия деталей содержит 70% деталей первого завода и 30% деталей второго завода. Вероятность того, что деталь с первого завода проработает без отказа более 1000 часов (надежность) равна 0,95 , а для деталей со второго завода эта вероятность равна 0,9.
а) Найти вероятность того, что случайно взятая из партии деталь проработает без отказа более 1000 часов.
б) Деталь прошла испытание и проработала безотказно 1000 часов. Найти вероятность того, что она с первого завода.
Решение: Введем события А={деталь проработает без отказа более 1000 часов}.Hi ={взятая деталь с завода i} , i=1,2 по условию задачи P(H1 )=0,7 ; P(H2 )=0,3 ; P(A/H1 )=0,95 ; P(A/H2 )=0,9.
По формуле полной вероятности
P(A)= P(H1 )×P(A/H1 )+ P(H2 )×P(A/H2 )=0,7×0,95+0,3×0,9=0,935.
Таким образом, партия деталей (большое количество) будет содержать где-то 93,5% деталей с заданной надежностью. б) Сохраним обозначения п. а). по формуле Бейеса
.
Пример 7. Найти числовые характеристики с.в. Х , построить функцию распределения если:
| Х | -4 | 0 | 8 |
| Р | 0,2 | р | 0,6 |
Решение: р=1-(0,2+0,6)=0,2. График ф.р.
МХ=-4×0,2+0×0,2+8×0,6=4, DX=MX2 -(MX)2 =(-4)2 ×0,2+02 ×0,2+82 ×0,6-(4)2 =25,6.
Среднее квадратическое отклон