Учебное пособие: Цилиндр

, или

откуда . Пусть V(r) – объем цилиндра, где 0 < r < 3 . Тогда

.

Найдем наибольшее значение функции V(r) на промежутке (0;3) .

V'(r) =  H(2r - r² ) =  Hr(2 - r).

Промежутку (0;3) принадлежит единственный корень ( r = 2 ) полученного уравнения. Если 0 < r < 2 , то V'(r) > 0 . Поэтому на промежутке (0;2) функция V(r) возрастает. Если 2 < r < 3 , то V'(r) < 0 . Поэтому на промежутке (2;3) функция V(r) убывает. Значит, в точке r = 2 функция V(r) имеет максимум. Следовательно, радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в данный конус, равен 2.

Ответ: r = 2.

Задача 11.

Развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной . Найдите объем цилиндра.

Дано: Цилиндр, квадрат – развертка боковой поверхности цилиндра, сторона квадрата = .

Найти: V_цил.

r

Решение:

Пусть образующая цилиндра АD = h , а радиус основания равен r, объем цилиндра равен V . Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной длина окружности основания и образующая цилиндра также равны , т.е.

.

Следовательно, .

Ответ: V = 2.

Задача 12.

Радиус основания цилиндра равен r . Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра, не пересекает его оснований и образует угол α с плоскостью основания. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью.

Дано: цилиндр, r – радиус основания цилиндра, угол α.

Найти: S_{сеч. ц.}

α r

Основание цилиндра есть ортогональная проекция данного сечения на плоскость основания. Следовательно, площадь сечения равна площади основания, делённой на косинус угла между плоскостями сечения и основания, т.е. .

Ответ:

Заключение

Цель данного реферата выполнена, рассмотрено такое геометрическое тело, как цилиндр.

Рассмотрены следующие задачи:

− дано определение цилиндра;

− рассмотрены элементы цилиндра;

− изучены свойства цилиндра;

− рассмотрены виды сечения цилиндра;

− выведена формула площади цилиндра;

− выведена формула объема цилиндра;

− решены задачи с использованием цилиндра.

Список литературы