Учебное пособие: Выборочный метод

Пусть плотность распределения ξ* изображена на рис. 1.9.3.

Рис. 1.9.3. Доверительные границы

Выберем интервал (ξ – ε₁ , ξ +ε₂ ), в котором с достаточно близкой
к 1 вероятностью будет заключена величина ξ*, т. е.

P(-ε₁ <ξ - ξ* <ε₂ ) = l – α (1.9.5*)

где α - величина, близкая к нулю.

Это означает, что в большинстве выборок (доля которых составляет
1— α) ошибка выборки попадет в интервал (-ε₁ , ε₂ ), и лишь в относительно малом числе выборок (доля которых равна α) ошибка δ выйдет за пределы интервала (-ε₁ , ε₂ ). Поскольку производится одна выборка, то с практической достоверностью (т.е. с вероятностью 1 − α)можно полагать, что ее ошибка попадет в данный интервал, и, наоборот, практически невозможно (т. е. с вероятностью α),что она выйдет за границы интервала.

Но если ε₁ <ξ - ξ* <ε₂ , то ξ* - ε₁ < ξ< ξ*+ ε ₂ , и равенство (1.9.5*) запишется в виде:

P(ξ* - ε₁ <ξ <ξ* +ε₂ ) = l − α (1.9.5)

В силу изложенного

• интервал (ξ* - ε₁ , ξ*+ε₂ ) называется доверительным интервалом,

• числа ξ*- ε₁ , ξ*+ε₂ - доверительными границами,

• вероятность Р=1—α - доверительной вероятностью и

• α- уровнем значимости (существенности)

Доверительный интервал дополняет точечную оценку ξ * оценкой ошибки выборки, или интервальной оценкой параметра α.

Если для точечной оценки необходимо знать лишь выражение для ξ * как функцию данных выборки, то для построения доверительного интервала необходимо знать также закон распределения ξ *, с помощью которого рассчитывается вероятность (1.9.5).

Часто при симметричном характере распределения случайной величины ξ * относительно ξ можно и доверительный интервал рассматривать как симметричный относительно ξ . В таком случае уравнение (1.9.5) может быть заменено на более простое:

P(ξ* - ε <ξ <ξ* +ε) = P (│ξ - ξ*│<ε) = l – α (1.9.6)

Величина ε называется предельной ошибкой выборки.

С интервальной оценкой связано решение трех типов задач:

1) определение доверительного интервала по заданной доверительной вероятности Р= 1 – α и объему выборки п ;

2) определение доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу и объему выборки;

3) определение необходимого объема выборки п по заданным доверительной вероятности и доверительному интервалу.

3.3 Оценка доли признака

Для точечной оценки доли признака в генеральной совокупности (р) естественно взять выборочную долю

р *=

где n — объем выборки,

т — количество единиц в выборке, обладающих данным признаком.

Можно доказать, что эта оценка является состоятельной, несмещенной, эффективной.

Вопрос об интервальной оценке рассмотрим сначала для случая возвратной выборки.

При такой организации выборки случайная величина p *, как известно из теории вероятностей, имеет биномиальный закон распределения. Расчет доверительного интервала с применением формулы биномиального закона связан с определенными вычислительными трудностями. Однако при достаточно большом объеме выборки (примерно n ≥ 20, п_р ≥ 10) биномиальное распределение хорошо аппроксимируется нормальным распределением с параметрами