Учебное пособие: Выборочный метод

Возвратная выборка объема n может рассматриваться как совокупность n независимых случайных величин X_j , имеющих одно и то же распределение, совпадающее с генеральным, для которых, следовательно:

M (X_j ) = ; D (X_j )= σ²

Для точечной оценки генеральной средней естественно использовать статистику ¾ среднюю. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим:

(1.9.16)

(1.9.17)

Нетрудно видеть, что статистика θ ¾X * является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой параметра .

Для точечной оценки генеральной дисперсии воспользуемся статистикой — выборочной дисперсией. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что

(1.9.18)

Таким образом, статистика θ = D * является смещеннойоценкой для генеральной дисперсии σ² . Однако смещенность легко устраняется путем введения корректирующего множителя .Статистика

(1.9.19)

(так называемая «исправленная» выборочная дисперсия) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии σ² и используется для ее точечной оценки.

Заметим, что при большом п отношение и потому значение s² ≈D *

В случае безвозвратной выборки можно показать, что точечная оценка средней будет той же (т. е. *), а точечная оценка дисперсии должна быть заменена на:

(1.9.20)

где N — объем генеральной совокупности

В случае безвозвратной выборки изменится и выражение для D (*), которое потребуется для построения доверительного интервала при оценке средней:

(1.9.21)

При относительно небольшом объеме выборки и

3.5 Интервальные оценки средней

При изложении данного вопроса будем различать случаи больших и малых выборок. При этом оба случая сначала рассмотрим в более простой, с теоретической точки зрения, ситуации возвратной (повторной) выборки.

3.5.1 Большая выборка

Если объем выборки достаточно большой (практически, начиная с п > 20—30), то распределение выборочной средней , согласно центральной предельной теореме, независимо от характера генерального распределения приближается к нормальному распределению с параметрами

М ()= и )

где — генеральная средняя,

σ— генеральное среднее квадратическое отклонение,

п — объем выборки.

Таким образом, величина

распределена по стандартному нормальному закону (с математическим ожиданием M (z ) = 0и средним квадратическим отклонением σ( z ) = 1).