Учебное пособие: Выборочный метод

Если же генеральное среднее квадратическое отклонение σ неизвестно и приходится пользоваться его выборочной оценкой s , то используется статистика t (1.9.26), которая, как мы уже отмечали, подчинена закону распределения Стьюдента с v = n —1 степенями свободы. При v < 30 имеются значительные различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением (тем более значительные, чем меньше v ). Используя функцию распределения Стьюдента, мы можем записать равенство, аналогичное формуле Лапласа:

(1.9.27)

где S ( t , v ) — функция Стьюдента, значения которой для различных значений t и v подробно рассчитаны и представлены в специальных таблицах.

Выражение ( 1.9.27) эквивалентно выражению:

(1.9.28)

где

Решение задач с помощью этого равенства аналогично решению задач с использованием формулы Лапласа. Лишь определение п несколько усложняется из-за того, что оно входит также в параметр v = n —1.

Поэтому можно воспользоваться схемой последовательных приближений. Вначале производят оценку (s ² ) генеральной дисперсии. Затем находят п₁ по схеме (1.9.25), используя таблицу функции Лапласа и принимая σ² = s ² - По найденному n ₁ и, соответственно, v ₁ = n ₁ — 1 и заданному значению

Р =1—α определяют t ₁ (по таблице распределения Стьюдента) и вычисляют и так далее.

Теперь можно снова повторить расчет по v ₂ = n ₂ — 1 и т.д.

Итерация заканчивается, если окажется n_i ≈ n_{i -1} .

Пример 1.9.7. Для определения среднего заработка работника за день при соблюдении необходимых условий было отобрано 10 работников, заработок которых оказался равным (в руб.): 325; 337; 319; 330; 327; 328; 332; 320; 318; 334. Требуется определить с вероятностью 0,95 доверительный интервал для среднего заработка работников в генеральной совокупности, если есть основания полагать, что заработная плата в генеральной совокупности подчиняется нормальному закону определения.

Решение:

По данным выборки определяем среднюю и дисперсию. Получаем

;

Рассчитываем несмещенную оценку генеральной дисперсии

Предположение о нормальном характере генерального распределения позволяет нам использовать равенства (1.9.27) и (1.9.28). Обращаясь к таблице значений функции Стьюдента, по заданным P = 2 S ( t , v )=0,95 и v = n —1 = 10 – 1 = 9 находим t = 2,26.

Вычисляем предельную ошибку выборки ε=(кг).

Доверительный интервал для генеральной средней:

327—5<<327+5 или 322<<332.

Пример 1.9.8. Используя данные примера 1.9.7, определить объем выборки, необходимый для того, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,95 не превышала 3 рубля.

Решение.

Мы имеем оценку генеральной дисперсии s² = 42,4. Вначале находим n ₁ по формуле (1.9.25), принимая σ² = s ² и определяя z по таблице функции Лапласа:

Теперь обращаемся к таблице функции Стьюдента и по Р = 0,95,

v ₁ = n ₁ —1 ≈ 17 находим значение t ₁ =2,11.

Вычисляем

По Р = 0,95 и v ₂ = n ₂ —1 = 21 – 1 = 20 находим t ₂ = 2,09.