1. a) Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями ( сделав рисунок ). y = 2x²; y=8. б) Найти - задание во вложении 1. в) Решить неравенство - задание во вложении 2.

[latex] \int\limits^1_{-1} { \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12} } \, dx [/latex] Во первых, максимально упростим подинтегральное выражение: [latex]\int\limits^1_{-1} { \frac{(3+x)(3-x)(x+4)(x-4)}{(x-3)(x-4)} } \, dx= \int\limits^1_{-1} { \frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{(x-3)} } \, dx[/latex] [latex]\int\limits^1_{-1} { \frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{-(3-x)} } \, dx=\int\limits^1_{-1} {-(3+x)(x+4) \, dx=\int\limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} \, dx[/latex] Если вам не понятно, поясню. В числителе было произведение разностей квадратов, а значит, можно привести данные выражения к более простым (как  мы и сделали), а в знаменателе, я разложил многочлен на множители с помощью метода разложения квадратного трехчлена. Нам осталось решить определенный интеграл через формулу Ньютона-Лейбница: [latex]\int\limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} \, dx=- \frac{1}{3}x^3- \frac{7}{2}x^2-12x\Big|_{-1}^1- \frac{x^3}{3}- \frac{7x^2}{2}-12x\Big|_{-1}^1=( -\frac{1}{3}-\frac{7}{2}-12)-( \frac{1}{3}-\frac{7}{2}+12)=-\frac{2}{3}-24 [/latex] То есть: [latex]\int\limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} \, dx=-24 \frac{2}{3} [/latex] 2) Вначале решим определенный интеграл, а потом неравенство: [latex] \int\limits^a_2 {2x} \, dx=x^2\big|_2^a=a^2-4[/latex] Теперь неравенство: [latex]a^2-4\ \textgreater \ 5[/latex] [latex]a^2\ \textgreater \ 9[/latex] - перенесли 4 в право. Переносим 9 в лево: [latex]a^2-9\ \textgreater \ 0[/latex] Так как это разность квадратов, получаем: [latex](a+3)(a-3)\ \textgreater \ 0[/latex] Есть 2 корня, при котором левое выражение обращается в нуль: [latex]a_{1,2}=\pm3[/latex] Отметим данные точки на числовой прямой, и получим 3 интервала: [latex](-\infty,-3)(-3,3)(3,+\infty)[/latex] Теперь проверим знаки на каждом из интервалов (нам подойдет интервал со знаком +, так как наше неравенство строго больше нуля). [latex](-\infty,-3)=+[/latex] [latex](-3,3)=-[/latex] [latex](3,+\infty)=+[/latex] Отсюда ответ: [latex]x\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)[/latex] 3) Во первых границы фигуры: [latex]2x^2=8[/latex] [latex]x^2=4[/latex] [latex]x_{1,2}=\pm2[/latex] График [latex]y=2x^2[/latex] начинается из начала координат, график y=8 с точки (0;8). Понятное дело, что график y=8 выше [latex]y=2x^2[/latex]  на данном отрезке [latex]x\in[-2,2][/latex] Составим определенный интеграл: [latex] \int\limits^2_{-2} {8-2x^2} \, dx [/latex] - заметьте, мы отняли из высшего графика, низший. По теореме Ньютона-Лейбница, находим: [latex] \int\limits^2_{-2} {8-2x^2} \, dx =8x-\frac{2x^3}{3}\big|_{-2}^2=(16- \frac{16}{3})-(-16+ \frac{16}{3})=32- \frac{32}{3}= \frac{64}{3}[/latex] [latex]\int\limits^2_{-2} {8-2x^2} \, dx =\frac{64}{3}=21 \frac{1}{3} [/latex]