Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/корень из пи. двугранный угол при ребре основания 60 гр. вычисите площадь сферы вписанной в пирамиду.

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/√π, двугранный угол при ребре основания 60°. Вычислите площадь сферы вписанной в пирамиду.   Вспомним, что правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.  Поскольку пирамида правильная, в нее можно вписать шар. Его центр лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, боковые стороны которого равны апофеме. ( См. рисунок) Так как двугранный угол этой пирамиды равен 60°, то и основание  треугольника MSH равно апофеме пирамиды. Т.е. треугольник этот - равносторонний.  Радиус сферы, площадь поверхности которой предстоит найти, равен радиусу вписанной в этот равносторонний треугольник окружности и равен одной трети высоты этого треугольника, которая является и высотой пирамиды. Эту высоту найдем из треугольника SOM. Она равна SM·sin (60°) SO=(9/√π)·(√3):2 Радиус вписанной сферы в эту пирамиду r=(3√3):2√π S=4πR² S=4π{(3√3):2√π}²=4π·27:4π=27 см²