Бісектриса кута А прямокутника ABCD ділить його сторону BC на відрізки BM і MC завдовжки 10 см і 14 см відповідно.На відрузки якої довжини ця бісектриса ділить діагональ прямокутника?

Обозначим точку пересечения биссектрисы АМ с диагональю ВД через Р.Тогда ΔАМВ - равнобедренный, так как <МАД=<АМВ=45⁰, ВМ=АВ=10,  ВС=ВМ+МС=10+14=24, АД=ВС, АД=24 Из ΔАВД: ВД²=АВ²+АД²=100+576=676, ВД=26 ВД=ВР+РД. Обозначим ВР=х  ⇒  РД=ВД-х=26-х (см)    ΔВМР подобен ΔАДР (по двум углам: <МАД=<АМВ, <АРД=<ВРМ как вертикальные)  ⇒ составим пропорцию        ВМ     ВР               10           х                                                ----- = ------            ------ = ----------                                                 АД      ДР                24       26-х   10(26-х)=24х  ,  5(26-х)=12х  ,  130-5х=12х   ,  17х=130  ,  х=130/17=7 и 11/17 (см) =ВР 26-х=26-130/17=312/17=18 и 6/17 (см) =ДР                                      

Пусть точка пересечения биссектрисы со стороной DC будет К, а точка пересечения биссектрисы DK и диагонали BD будет О. Биссектриса угла параллелограмма ( а прямоугольник - параллелограмм) отсекает от него равнобедренный треугольник. АDK- равнобедненный треугольник, и АD=DK=10 см. КС=14, ⇒DC=АВ=24 см Диагональ прямоугольника, найденная по т.Пифагора, равна 26 см. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. Следовательно, DO:OB=AD:АВ DO:OB=10:24=5:12 Диагональ делится биссектрисой на 5+12=17 частей. Одна часть равна 26/17 DO=26*5/17=≈18,35 см OD=26*12/17=≈7,65 см