Какова наименьшая возможная длина апофемы правильной треугольной пирамиды,имеющий объем 1 см^3 ?

Если треугольная пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник. Площадь правильного треугольника: [latex]S= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} [/latex] где а - сторона треугольника. Объем равен: [latex]V= \frac{1}{3}*S*h [/latex] Отсюда выражаем высоту h: [latex]h= \frac{3V}{S} [/latex] подставляем формулу площади треугольника и V=1 см³ [latex]h= \frac{3*1}{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} }= \frac{12}{a^2 \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3} }{a^2} [/latex] Апофему L можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где катетами являются высота пирамиды h и радиус вписанной окружности r [latex]L= \sqrt{h^2+r^2} [/latex] Радиус вписанной окружности в правильный треугольник: [latex]r= \frac{a}{2 \sqrt{3} } \\ \\ L= \sqrt{h^2+r^2}= \sqrt{(\frac{4 \sqrt{3} }{a^2})^2+( \frac{a}{2 \sqrt{3} })^2} = \sqrt{ \frac{48}{a^4} + \frac{a^2}{12} }= \sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} } \\ \\ [/latex] В итоге получилась функция вида: [latex]L(a)= \sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }[/latex] Чтобы найти наименьшее значение апофемы, то есть наименьшее значение функции L(a), нужно найти точку минимума. Для этого надо взять производную: [latex]L'(a)= \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{6a^5*12a^4-48a^3(a^6+576)}{144a^8} = \\ \\ =\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{72a^9-48a^9-27648a^3}{144a^8}= \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{24a^9-27648a^3}{144a^8} = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{24a^3(a^6-1152)}{144a^8} = \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{a^6-1152}{6a^5} [/latex] Находим ОДЗ производной: Подкоренное выражение должно быть больше либо равен нулю, но так как корень квадратный стоит в знаменателе, значит Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля. Так как a⁶≥0 и а⁴≥0, значит  [latex] \frac{ a^6+576}{12a^4}\ \textgreater \ 0 \\ [/latex] - при любых а, кроме а=0 Знаменатель не должен равняться нулю, значит [latex]1) \ a^4 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_{1,2,3,4} \neq 0 \\ \\ 2) \ a^5 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_{1,2,3,4,5} \neq 0[/latex] теперь приравниваем производную к нулю [latex]\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{a^6-1152}{6a^5} =0[/latex] Было сказано, что  [latex]\frac{ a^6+576}{12a^4}\ \textgreater \ 0 [/latex] значит [latex]\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} \ \textgreater \ 0[/latex] это выражение не имеет корней, поэтому все уравнение можно на него разделить: [latex]\frac{a^6-1152}{6a^5} =0 \\ \\ a^6-1152=0 \\ \\ a^6=1152 \\ \\ a= ^+_-\sqrt[6]{1152} \\ \\ [/latex] Откладываем все корни уравнения и точки из ОДЗ на координатной оси и методом интервалов определяем точки минимума [latex]---[ - \sqrt[6]{1152} ]+++(0)---[ \sqrt[6]{1152} ]+++\ \textgreater \ a[/latex] получились две точки минимума: [latex]a=\sqrt[6]{1152} \\ a=- \sqrt[6]{1152} [/latex] Вторая точка точка нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной. Наконец находим минимальное значении функции, и тем самым наименьшую длину апофемы  [latex]L(\sqrt[6]{1152} )= \sqrt{ \frac{(\sqrt[6]{1152} )^6+576}{12*(\sqrt[6]{1152} )^4} }= \sqrt{ \frac{1152+576}{12*1152^{ \frac{4}{6} } } }= \sqrt{ \frac{1728}{12*1152^{ \frac{2}{3}} }} = \\ \\ = \sqrt{ \frac{144}{1152^{ \frac{2}{3}} } }= \frac{ \sqrt{144} }{ \sqrt{1152^{ \frac{2}{3} }} }= \frac{12}{1152^{ \frac{1}{3} }} = \frac{12}{ \sqrt[3]{1152} } \\ \\ OTBET: \ \frac{12}{ \sqrt[3]{1152} } [/latex]