Найти сумму ряда:[latex]x+2x^2+...+nx^n+...[/latex]если x по модулю меньше 1/2

Рассмотрим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии [latex]x+ x^{2} + x^{3}+ ... + x^{n}+ ...= \frac{x}{1-x} [/latex] Найдем производную [latex](x+ x^{2} +x ^{3} +...+x ^{n}+...)`= (\frac{x}{1-x}) ` [/latex] [latex]1+2x+3 x^{2} +...+nx ^{n-1} +...= \frac{1-x-x(-1)}{(1-x) ^{2} } , \\ x(1+2x+3 x^{2} +...+nx ^{n-1} +...)=x\cdot\frac{1-x-x(-1)}{(1-x) ^{2} } , \\ x+2x ^{2} +3 x^{ 3} +...+nx ^{n} +...=\frac{x}{(1-x) ^{2} } [/latex]