Одно из оснований цилиндра является сечением шара, а дру- гое основание принадлежит большому кругу этого шара. Радиус шара равен R . Определите высоту цилиндра, имеющего наибольший объем.

Обозначим высоту цилиндра Н, а радиус его основания r. Объём цилиндра V = πr²H.Заменим r² = R² - H². Тогда V = π(R² - H²)H = πR²H - πH³. От полученной функции найдём производную по переменной Н и приравняем нулю для нахождения максимума: [latex]V'= \pi R^2-3 \pi H^2 = 0[/latex] [latex] \pi R^2=3 \pi H^2[/latex] Отсюда находим искомую высоту: [latex]H= \frac{R}{ \sqrt{3} } .[/latex]