Проинтегрировать дифференциальное уравнение а) y-y'cosx=(y^2)cosx(1-sinx)

Разделим обе части уравнения на [latex]y^2\cos x[/latex], получим: [latex]- \dfrac{y'}{y^2} + \dfrac{1}{y\cos x} =1-\sin x[/latex] Пусть [latex]u= \dfrac{1}{y} [/latex], тогда получаем: [latex] \dfrac{du}{dx} + \dfrac{u}{\cos x} =1-\sin x\,\,\, \big|\cdot dx[/latex] [latex]du+\bigg(\sin x-1+ \dfrac{u}{\cos x}\bigg)dx=0[/latex] Проверим, является ли дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. [latex]\displaystyle \frac{\partial M}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \bigg(\sin x-1+ \frac{u}{\cos x} \bigg)=\frac{1}{\cos x} \\ \\ \\ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \big(1\big)=0[/latex] Поскольку [latex] \dfrac{\partial M}{\partial u} \ne \dfrac{\partial N}{\partial x} [/latex], значит уравнение не в полных дифференциалах. Найдем интегрирующий множитель: [latex]\phi(x)= \dfrac{ \frac{\partial M}{\partial y}- \frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \dfrac{1}{\cos x} [/latex] [latex]\displaystyle \mu=e^\bigg{\int \phi(x)dx}=e^\bigg{\int \frac{dx}{\cos x} }= e^\bigg{\ln| \frac{1+\sin x}{\cos x}| }= \frac{1+\sin x}{\cos x} [/latex] Домножим обе части уравнения интегрирующий множитель: [latex] \dfrac{1+\sin x}{\cos x}du+ \dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x} dx=0[/latex] Проверим, является ли последнее уравнение в полных дифференциалах. [latex] \dfrac{\partial M}{\partial u} = \dfrac{1+\sin x}{\cos^2x}\\ \\ \dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\cos^2x+\sin^2x+\sin x}{\cos^2x}= \dfrac{1+\sin x}{\cos^2x} [/latex] Итак, является уравнением в полных дифференциалах. Значит существует некоторая функция [latex]z(x;u)=C[/latex] [latex]\displaystyle \dfrac{\partial z}{\partial u} = \frac{1+\sin x}{\cos^2x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\, (\star)\\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u(1+\sin x)}{\cos^2x} [/latex] Проинтегрируем [latex](\star)[/latex] по [latex]u[/latex], то есть: [latex]z= \dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2x} +g(u)[/latex] Теперь дифференцируем по [latex]x[/latex] [latex]\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x} +g'(u)[/latex] Подставим [latex]\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}+g'(u)=\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}\\ \\ g'(u)=1\\ g(u)=u[/latex]  То есть, имеем решение относительно переменной [latex]z[/latex] [latex]\dfrac{u(1+\sin x)}{\cos^2 x}+u=C[/latex] Обратная замена [latex]\boxed{\frac{1+\sin x}{y\cos^2 x}+ \frac{1}{y} =C}[/latex] - общий интеграл