У  трикутнику  ABC,  один  з  кутів  якого  дорівнює  48 градусів,  довжини  сторін задовольняють  співвідношення (a-d)(a+c)2+bc(a+c)=ab2  .  Виразіть  уградусах величини двох інших кутів цього трикутника. . 

заменим  для   удобства a+c=t (a-c)*t^2+bc*t-ab^2=0 Решим   уравнение относительно t: D=b^2*c^2+4(a-c)*ab^2=b^2c^2+4*a^2*b^2-4cab^2 можно  заметить  что  это   полный   квадрат: D=(2ab-bc)^2  но  в  любом  случае t=(-bc+-|2ab-bc|)/2(a-c) с каким  бы  знаком не   раскрылся  модуль в силу симетрии знаков +- перед модулем то  в  любом случае   будет только 2   одних и  тех же решения: t=(-bc+-(2ab-bc))/(2(a-c) 1)t=(2ab-2bc)/2(a-c)=b a+c=b ,но  по  неравенству  треугольника это  невозможно. 2)  t=(-bc-2ab+bc)/(2(a-c) a+c=ab/(c-a)    Откуда ярко видно   что с>a c^2-a^2=ab Запишем   теорему косинусов: a^2+b^2-2ab*cosA=c^2 b^2-2ab*cosA=c^2-a^2=ab   b-2a*cosA=a     b=a+2a*cosA   b=a(1+2cosA)  cosA=(b-a)/2a=b/2a -1/2 c^2+b^2-2bc*cosB=a^2 с^2-a^2=2bc*cosB-b^2 ab=2bc*cosB-b^2 a=2с*сosB-b сosB=(a+b)/2c c=sqrt(ab+a^2) cosB=(a+b)/(2sqrt(ab+a^2) cos^2B= (a+b)^2/4(ab+a^2)=(a+b)^2/4(a+b)a=(a+b)/4a=b/4a+1/4 2*cos^2B=b/2a +1/2 cosA=b/2a -1/2 Вычетая  поочленно  получим: 2*сos^2B-cosA=1 cosA=2*cos^2B-1=cos2B сosA=cos2B (но   тк это углы треугольника),то   A=2B Один   из углов  48 Тогда   рассмотрим 3   варианта 1)48+3x=180 x=44 Искомые углы:48,44,88 2)48+96+x=180 Углы 48,96,36 3)24+48+x=180 Углы 24,48,108 Теперь самое сложное нужно понять какой из этих вариантов подходит второй вариант не   подходит   тк в   нем  второй угол   тупой CosB=96<0 но   (a+b)/2c>0 ,то   есть такое невозможно Насчет   того 1  или второй вариант  пока не знаю. Потом   подумаю Пока   предварительно   ответ   таков:  или  48,44,88 или 24,48,108  не   исключено   что оба варианта подходят Да  думаю что  скорее   всего оба  

 Вчера по этой идее решал но   ошибся в вычислениях  [latex](a-c)(a+c)^2+bc(a+c)=ab^2\\ (a^2-c^2)(a+c)+bc(a+c)=ab^2\\ (a+c)(a^2-c^2+bc)=ab^2\\ (c-b+a)(a^2+ab-c^2)=0 \\\\ c=b-a>0\\ c=\sqrt{a^2+ab}>0 [/latex] [latex]1)c=b-a\\ 2)c=\sqr{a^2+ab}[/latex] Рассмотрим случаи  , когда угол [latex]48а[/latex] лежит против стороны [latex]c[/latex]     По теореме косинусов  [latex]c^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\\\ [/latex]   Положим первое равенство, с выражения [latex]c=b-a[/latex], получим  [latex]b^2-2ab+a^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\ 2ab(cos48-1)=0\\ a \neq 0\\ b \neq 0\\ cos48 \neq 1[/latex]   не подходит     [latex]2[/latex] случаи   [latex]a^2+ab=a^2+b^2-2ab*cos48\\ ab=b^2-2ab*cos48\\ a=b-2a*cos48\\ b=a(1+2cos48)\\ c=\sqrt{a^2+a*a(1+2cos48)}=2a*cos24\\\\ a+b>c\\ a+c>b\\ b+c>a\\ [/latex] при этом неравенство  выполняется   По теореме синусов  [latex]\frac{2a*cos24а}{sin84а}=\frac{a}{sinb}\\ b=arcsin(\frac{sin48а}{2cos24а})=24а\\\\ [/latex]   третий угол [latex]180-24-48=108[/latex] всего  [latex]24;108;48[/latex]   Положим что [latex]48а[/latex]  лежит против   стороны [latex]b[/latex]    [latex]a^2=a^2+c^2-2ac*cos48\\ b^2=2a^2+ab-2a*\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b^2-ab=2a^2-2a\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b=a+2a*cos96 \\ c=2a*cos48\\\\ \frac{a}{sin48} = \frac{a+2a*cos96}{sinb}\\ b=36а[/latex]  [latex]36;48;96[/latex]    Положим что  против стороны [latex]a[/latex]    [latex]a^2=b^2+c^2-2bc*cos48\\ a^2=b^2+a^2+ab-2b\sqrt{a^2+ab}*cos48 \\ b=2acos96+a\\ c=2a*cos48\\\\ a+b>c\\ b+c>a\\ a+c>b[/latex]   при это неравенство треугольников  , выполняется        [latex] \frac{1}{sin48} = \frac{2cos96+1}{sinb}\\ b=arcsin((2cos96+1)*sin48)=36а[/latex]   [latex]180-36-48=96[/latex]