В ΔАВС АВ = ВС, угол САВ = 30 градусов, АЕ – биссектриса, ВЕ = 8 см. Найдите площадь треугольника АВС.

∠ВСА = ∠ВАС = 30°, так как треугольник равнобедренный, тогда ∠АВС = 180° - 2·30° = 120° Проведем ВК - высоту и медиану. Обозначим ЕС = х, АК = КВ = у. Тогда АВ = х + 8. По свойству биссектрисы: ВЕ : ЕС = АВ :АС 8 : x = (x + 8) : (2y) 16y = x(x + 8) y = x(x + 8)/16 Из прямоугольного треугольника ВКС по определению косинуса: y = BC·cos∠BCK y = (x + 8)·√3/2 Из двух уравнений получаем: x(x + 8)/16 = (x + 8)·√3/2 x/16 = √3/2 x = 8√3 AB = BC = 8 + 8√3 (см) Sabc = 1/2 · AB · BC · sin120° Sabc = 1/2 · (8 + 8√3)²·√3/2 = 16√3(√3 + 1)² = 16√3(4 + 2√3) = 32√3(2 + √3) (см²)