В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: двугранный угол при боковом ребре пирамиды

Обозначим пирамиду АВСД, основание АВС, высота ДО. Проведём секущую плоскость через основание высоты О параллельно стороне основания АС перпендикулярно к боковому ребру ДВ. В сечении получим равнобедренный треугольник РМЕ. Основание РЕ из подобия треугольников АВС и РВЕ равно (2/3)а, так как точка О делит высоту основания в отношении 1:2. Его половина РО = (2/6)а = а/3. Высота треугольника РМС равна: ОМ = ОВ*sin OBД. ОВ = (2/3)*а(√3/2) = а√3/3. sin OBД = ДО/ДВ = H / ДB. ДB = √(H² + ((2/3)a*(√3/2))²) = √(H² + (a²/3)). sin OBД = H / √(H² + (a²/3)). Получаем значение высоты ОМ: ОМ = (а√3/3)*( H / √(H² + (a²/3))) = (аН√3) / (3√(H² + (a²/3))). Двугранный угол при боковом ребре равен линейному углу РМЕ. Он равен φ = 2arc tg (PO/OM) = 2arc tg ((а/3) / аН√3) / (3√(H² + (a²/3))) = = √(H² + (a²/3)) / (Н√3).