В трапеции ABCD основание AD в 5 раз больше основания BC. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках M и N. Найдите отношение площади треугольника MON к площади трапеции.

Проведём высоту трапеции через точку О. Обозначим ВС=Х, тогда АД=5Х. Высота треугольника ВОС   ОР=У, тогда высота треугольника АОД=5У, поскольку АОД и ВОС подобны с коэффициентом подобия по условию=5.  Тогда высота трапеции РQ  равна У+5У=6У. Отрезок МN  лежит на средней линии трапеции, которая делит высоту трапеции пополам , то есть КР=3У. Точка К лежит на МN. ОК-высота треугольника МОN.  ОК=КР-ОР=3У-У=2У. Треугольники АОД и МОN подобны, коэффициент подобия равен OK/OQ=2/5. Отсюда МN=2/5*АД=2/5*5Х=2Х. Площадь трапеции равна Sавсд=(АД+ВС)/2*РQ=(Х+5Х)/2*6У=18Х*У.   Площадь треугольника МОN=1/2*МN*ОК=1/2*2Х*2У=2Х*У. Тогда отношение 2Х*У/18Х*У=1/9.