В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=11, AC=14 из вершины В опущены перпендикуляры BD и BE на биссектрисы углов BAC и BCA соответственно. Найдите длину отрезка DE.

Положим что биссектриса проведенная к стороне [latex]BC=x\\ [/latex] , [latex]CG=y[/latex] . Углы  [latex]BAC, BCA[/latex] [latex]2a,2b[/latex] соответственно. Используя теорему косинусов найдем углы [latex]a,b[/latex]  [latex]12^2=11^2+14^2-2*11*14*cos2b\\ 11^2=12^2+14^2-2*12*14*cos2a\\\\ b=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} \\ a=\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}\\\\ [/latex]  Найдем [latex]BE;BD[/latex]    [latex]S_{BGC} = \frac{11y*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} ) }{2}}=\frac{BE*y}{2}\\ BE=11*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2})\\ BD=12*sin(\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2})\\\\ EBD=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2}+\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}\\\\ [/latex]    По теореме косинусов   [latex]ED^2=BD^2+BE^2-2BD*BE*cosEBD\\ [/latex]  подставляя найденные значения получим   [latex]ED=\frac{9}{2}[/latex]