Дипломная работа: Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью
Тогда,
2. Псевдоевклидова плоскость1R2 , на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости записывается в виде 
, где 
.
Например, евклидовой плоскостью является плоскость 
. Для векторов этой плоскости
, 
. Получим,
3. Полуевклидова плоскость
, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости принимает вид 
, где .
Например, полуоевклидова плоскость - плоскость 
. Для векторов этой плоскости
, 
.
Тогда получим,
т.к. 
Псевдоевклидова плоскость по своим аффинным свойствам не отличается от евклидовой, однако метрические свойства этих плоскостей существенно различаются. Это видно, хотя бы на примере окружности, которую на псевдоевклидовой плоскости определим как совокупность всех точек, удаленных на одно и то же псевдоевклидово расстояние r от данной точки – центра.
Если центр совпадает с началом координат О(0,0), то по определению уравнение окружности имеет вид
.
Радиус окружности может быть вещественным (r=a ), тогда 
.
Если радиус окружности мнимый, т.е. r=ia , то 
. В случае, когда радиус r=0 , имеем 
.
Таким образом на 
существует три вида окружностей. На аффинной плоскости они представляют собой пару пересекающихся прямых – окружность нулевого радиуса – и две сопряженные гиперболы, для которых указанные прямые являются асимптотами. (Рис. 1.2)
 | ||
| ||
В пространстве 1R4 существует три типа 3-плоскостей.
1. Евклидова 3-плоскость R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:
.
Например, евклидовой 3-плоскостью является плоскость 
Для векторов этой 3-плоскости 
, 
Тогда получим, 
,
)=
2. Плоскость 1R3, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид:
.
Например, плоскостью 1R3 является плоскость 
Для векторов этой 3-плоскости 
, 
Получаем,
,
)=
3. Плоскость 
, на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид: 
.
Например, плоскостью является плоскость 
Для векторов этой 3-плоскости 
, 
.
Получим:
