Дипломная работа: Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

Пусть кривая g задана в естественной параметризации. Вектора ,, , канонического репера будут заданы тоже с помощью параметра s.

Рассмотрим векторы ,, . Эти векторы можно будет разложить по базису ,, :

(12)

Теорема 2.5. Производная вектора постоянной длины перпендикулярна этому вектору.

Доказательство.

Пусть

Ч.т.д.

Из теоремы 2.5. следует, что .

Домножим первое уравнение (12) скалярно на . Получим . Аналогично,

. (13)

Домножим первое уравнение (12) скалярно на , второе на , затем сложим их. (,)+(,)=+. Выражение =0.

Отсюда, = .

Аналогично, =, =, =, =,=.

Выберем , . При этом имеет действительную длину. Тогда

(14)

Исходя из (12) и (14), получим =. Следовательно, ==0.

.

Значит, раскладывается по векторам ,,, задающим . Значит, =0, а следовательно =0.

. Пусть k1(s).

Деривационные формулы запишутся в виде:

(15)

2-я кривизна кривой

1-я кривизна кривой

§3. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях

Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой. Точнее линейчатую поверхность мы будем строить следующим образом.

Возьмем какую-нибудь кривую в пространстве; пусть r — ее текущий радиус-вектор, а u - параметр, к которому она отнесена, r = r (u) . Эту кривую мы будем называть направляющей. В каждой точке этой кривой зададим единичный вектор, который будет являться, таким образом, также функцией параметра u вдоль кривой, l =l(u).

Рис. 3.1

????? ?????? ????? N ???????????? ????? ? ??????-???????? r (u) ???????? ?????? ??????????? ??????? l(u) ,. ??????????? ???? ?????. ? ?????????? ?? ???????? ? ???????????? ????????? ?????? (???. 3.1) ?? ?????? ?????????, ?????? ?? u . ??? ?????? ?? ????? ???????? ???????????. ????? ?????????? ????????????, ????? ???????, ????????? u ; ??? ?? ???????? ?????? ?????-?????? ????? ? ?? ???? ??????????, ?? ??? ?? ????? ??????????????? ??????????? NM ?? ?????????? ?? ???????????? ????? ?? ????? ?. ??? ???? ?????????? NM ?? ????? ?? ??????, ???????? ?? ?????????? ??????????? l ?? ?????????????. ????? ?????????? ?????????? NM ??????? ????? v , NM=v .