Дипломная работа: Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.

Малюнок 3

Функція, обмежена й зверху, і знизу, називається обмеженої на множині D. Геометрично обмеженість функції f на множині D означає, що графік функції y = f (x), лежить у смузі c ≤ y ≤ C (малюнок 4).

Малюнок 4

Якщо функція не є обмеженою на множині, то говорять, що вона не обмежена.

Прикладом функції, обмеженої знизу на всій числовій осі, є функція y = x² . Прикладом функції, обмеженої зверху на множині (–∞; 0) є функція y = 1/x. Прикладом функції, обмеженої на всій числовій осі, є функція y = sin x.

Приклад 2.2.1 Вирішите рівняння

sin(x³ + 2х² + 1) = х² + 2х + 2. (4)

Рішення. Для будь-якого дійсного числа х маємо sin(x³ + 2х² + 1) ≤ 1, х² + 2х + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1. Оскільки для будь-якого значення х ліва частина рівняння не перевершує одиниці, а права частина завжди не менше одиниці, то дане рівняння може мати рішення тільки при .

При , , тобто при рівняння (4) так само корінь не має .

Відповідь: O.

Приклад 2.2.2 Вирішите рівняння

. (5)

Рішення. Очевидно, що х = 0, х = 1, х = -1 є рішеннями даного рівняння. Для знаходження інших рішень у силу непарності функції f(х) = = x³ - x - sin πx досить знайти його рішення в області х > 0, х ≠ 1, оскільки якщо x₀ > 0 є його рішенням, те й (-x₀ ) також є його рішенням.

Розіб'ємо множину х > 0, х ? 1, на два проміжки: (0; 1) і (1; +?)

Перепишемо початкове рівняння у вигляді x³ - x = sin πx. На проміжку (0; 1) функція g(х) = x³ - x приймає тільки негативні значення, оскільки х³ < < х, а функція h(x) = sin πx тільки позитивні. Отже, на цьому проміжку рівняння не має рішень.

Нехай х належить проміжку (1; +∞). Для кожного з таких значень х функція g(х) = х³ - х приймає позитивні значення, функція h(x) = sin πx приймає значення різних знаків, причому на проміжку (1; 2] функція h(x) = sin ?x непозитивна. Отже, на проміжку (1; 2] рівняння рішень не має.

Якщо ж х > 2, то |sin πx| ≤ 1, x³ - x = x(x² - 1) > 2∙ 3 = 6, а це означає, що й на проміжку (1; +∞) рівняння також не має рішень.

Отже, x = 0, x = 1 і x = -1 і тільки вони є рішеннями вихідного рівняння.

Відповідь: {-1; 0; 1}.

Приклад 2.2.3 Вирішите нерівність

. (6)

Рішення. ОПЗ нерівності є всі дійсні x, крім x = -1. Розіб'ємо ОПЗ нерівності на три множини: -? < x < -1, -1 < x ? 0, 0 < x < +? і розглянемо нерівність на кожному із цих проміжків.

Нехай -∞ < x < -1. Для кожного із цих x маємо g(x) = < 0, а f(x) = 2^x > 0. Отже, всі ці x є рішеннями нерівності.

Нехай -1 < x ≤ 0. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , а f(x) = 2^x ≤ 1. Отже, жодне із цих x не є рішенням даної нерівності.

Нехай 0 < x < +∞. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , a . Отже, всі ці x є рішеннями вихідної нерівності.

Відповідь: .

2.3 Використання періодичності функції