Дипломная работа: Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.

Не слід думати, що будь-яка функція є або парної, або непарної. Так, функція не є ні парної, ні непарної, тому що її область визначення несиметрична відносно початку координат. Область визначення функції y = x³ + 1 охоплює всю числову вісь і тому симетрично відносно початку координат, однак f (–1) ≠ f (1). А це значить, що функція не є ні парної, ні непарної, тобто є функцією загального виду (ФЗВ).

Якщо область визначення функції симетрична відносно початки координат, то цю функцію можна представити у вигляді суми парної й непарної функцій.

Такою сумою є функція

Перший доданок є парною функцією, друге - непарної.

Порівняльна ілюстрація функцій різної парності зображена на малюнку 6

ФОВ

Малюнок 6

Дослідження функцій на парність полегшується наступними твердженнями.

Сума парних (непарних) функцій є парною (непарної) функцією.

Добуток двох парних або двох непарних функцій є парною функцією.

Добуток парної й непарної функції є непарною функцією.

Якщо функція f парна (непарна), то й функція 1/f парна (непарна).

Приклад 2.4.1 чи Може при якому-небудь значенні а рівняння

2x⁸ – 3аx⁶ + 4x⁴ – аx² = 5

мати 5 корінь?

Рішення. Позначимо f(x) = 2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах² . f(x) – функція парна, тому, якщо x₀ – корінь даного рівняння, те -x₀ – теж. x = 0 не є коренем даного рівняння (0 ? 5). Отже, число корінь у цього рівняння при будь-якому дійсному а парне, тому 5 корінь воно мати не може.

Відповідь: не може.

2.5 Використання ОПЗ функції

Область визначення функції - це множина всіх припустимих дійсних значень аргументу x (змінної x), при яких функція визначена. Область визначення іноді ще називають областю припустимих значень функції (ОПЗ). Для знаходження ОПЗ функції потрібно проаналізувати дану відповідність і встановити заборонні операції, що зустрічаються (ділення на нуль, піднесення в раціональний ступінь негативного числа, логарифмічні операції над негативними числами й т.п.).

Іноді знання ОПЗ дозволяє довести, що рівняння (або нерівність) не має рішень, а іноді дозволяє знайти рішення рівняння (або нерівності) безпосередньою підстановкою чисел з ОПЗ.

Приклад 2.5.1 Вирішите рівняння

. (8)

Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх х, одночасно задовольняючим умовам і , тобто ОПЗ є порожня множина. Цим рішення рівняння й завершується, тому що встановлено, що жодне число не може бути рішенням, тобто що рівняння не має корінь.

Відповідь: O.

Приклад 2.5.2 Вирішите рівняння

. (9)

Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх x, одночасно задовольняючим умовам , , , тобто ОПЗ є . Підставляючи ці значення х у рівняння (9), одержуємо, що його ліва й права частини рівно 0, а це означає, що всі , є його рішеннями.

Відповідь:

Приклад 2.5.3 Вирішите нерівність