Дипломная работа: Интеграл Лебега-Стилтьеса

(6)

где - в общем случае комплексное число.

Пусть - подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы

причем, если ряд расходится, то

если же ряд сходится, то

и функции и различны.

К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом

(7)

и непрерывной дробью

, (8)

где - суть линейные функции , а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :

Формулами

Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни и действительны и различны, степень меньше степени . Для -й подходящей дроби справедливо равенство

или, в другой форме,

В частности,

Как уже говорилось при , а потому, если обозначить через нули , то и при . Аналогично, если - нули функции , то и для случая нечетных . В случае расходимости ряда очевидно, что .

Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням :

(9)

Тогда оказывается, что ряды

сходятся и