Дипломная работа: Интеграл Лебега-Стилтьеса
оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда 
, для второго - из постоянства функции 
, благодаря чему всегда 
В то же время интеграл
не существует. Действительно, разобьем промежуток 
на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму
Если точка 0 попадет в промежуток 
, так что 
, то в сумме 
останется только одно 
-е слагаемое; остальные будут нули, потому что
для 
.
Итак,
В зависимости от того, будет ли 
или 
, окажется 
или 
, так что 
предела не имеет.
Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке 
для обеих функций 
и 
.
2.5 Интегрирование по частям
Для интегралов Стилтьеса имеет место формула
(9)
в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.
Пусть существует интеграл 
. Разложив промежуток 
на части 
, выберем в этих частях произвольно по точке 
, так что
Сумму Стилтьеса для интеграла 
можно представить в виде
Если прибавить и опять отнять справа выражение
то перепишется так:
Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла
