Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

(2a-k)a₂ +cb₂ +(a₁ -f)b₃ +a₂ g₃ =0, (1.8₁ )

2ba₂ +(a+d-k)b₂ +2cg₂ +(2b₁ -g)b₃ +(2b₂ -f)g₃ =0, (1.8₂ )

bb₂ +(2d-k)g₂ +c₁ b₃ +(c₂ -g)g₃ =0; (1.8₃ )

(a-k)b₃ +cg₃ -df=0, (1.9₁ )

bb₃ +(d-k)g₃ -dg=0, (1.9₂ )

dk=0. (1.9₃ )

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.9₃ ) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a₂ =c₁ =0, а коэффициенты a₁ , b₁ , g₁ интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.6₁ ) – (1.9₃ ) при этих предположениях будут иметь вид:

3a₁ -f=0, (1.10₁ )

g+6b₁ =0; (1.10₂ )

(2a₁ -f)a₂ +3a=0, (1.11₁ )

(4b₁ -g)a2+(a₁ +2b₂ -f)b2+3b=0, (1.11₂ )

(2b₁ +c₂ -g)b₂ +(4b₂ -f)g₂ =0, (1.11₃ )

(2c₂ -g)g₂ =0; (1.11₄ )

2aa₂ +cb₂ +(a₁ -f)b₃ =0, (1.12₁ )

2ba₂ +(a+d)b₂ +2cg₂ +(2b₁ -g)b₃ +(2b₂ -f)g₃ =0, (1.12₂ )

bb₂ +2dg₂ +(c₂ -g)g₃ =0; (1.12₃ )

ab₃ +cg₃ -df=0, (1.13₁ )

bb₃ +dg₃ -dg=0. (1.13₂ )

Из условий (1.10₁ ) и (1.10₂ ) получаем, что

f = 2a_1, g = 6b₁ .

Из условия (1.11₄ ) имеем

(2c₂ -g)g₂ =0.

Пусть g_2, тогда

2c₂ -g=0 и g=2c₂ ,

с другой стороны g = 6b₁ , значит

c₂ =3b₁ .

Имея условия f = 2a_1, g = 6b_1, c₂ =3b₁ , из соотношений (1.11₁ ) – (1.11₃ ), (1.12₁ ), (1.12₃ ) и (1.13₁ ) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде: