Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

d=(-21a+b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=a,

c=-a, (1.35)

d=- a,

a₁ =, b₁ =1, a₂ =0, c₁ =0, b₂ =0, c₂ =3b₁ =3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a₂ =12a, b₂ = -a,

g₂ =a, b₃ =a² ,

g₃ = -a² ,d=a³ , (1.36)

m= -n, p= -an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x³ +12ax² -axy+ay² +a² x-a² y+a³ =0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y⁴ -11776ay³ +5480a² y² -825a³ y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y₀ =0, y₁ =a, y₂ =a, y₃ =a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x₀ =0, x₁ = -a, x₂ = -a, x₃ = -a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .