Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

g₂ = , b₃ = ,

g₃ = ,(1.15)

d = .

Равенства (1.12₂ ) и (1.13₂ ) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₁ , b₁ , b₂ :

(2ab₁ -ba₁ )[3(32a₁ b₁ b₂ -15a₁ ² b₁ -16b₁ b₂ ² ) a+(8a₁ b₂ ² -18a₁ ² b₂ +9a₁ ³ ) b+

24(a₁ b₁ ² -b₁ ² b₂ ) c+(16a₁ b₁ b₂ -15a₁ ² b₁ ) d]=0, (1.16)

(2ab₁ -ba₁ )[12(7a₁ b₁ b₂ -3a₁ ² b₁ -4b₁ b₂ ² ) a² +6(3a₁ b₁ ² -4b₁ ² b₂ ) ac+(3a₁ ² b₁ -

-4a₁ b₁ b₂ ) bc+2(4a₁ ² b₂ -3a₁ ³ )bd –8a₁ b₁ ² cd+4a₁ ² b₁ d² ]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c ₁ = a ₂ = 0, c ₂ = 3 b ₁ .

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a₂ =c₁ =0, c₂ =3b₁ . (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a₁ x² +2b₁ xy)+n(cx+dy+2b₂ xy+3b₁ y² )=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ , получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a₁ -a)m= 0, (1.21₁ )

(2b₁ -b)m+(2b₂ -a)n=0, (1.21₂ )

(3b₁ -b)n=0; (1.21₃ )

(a-g)m+cn-pa=0, (1.22₁ )

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.22₂ )

pg= 0. (1.22₃ )

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.22₃ ) получаем, что g=0.

Условия (1.22₁ ), (1.22₂ ) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.23₁ )

bm+dn-bp= 0. (1.23₂ )