Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

m₁ = 4b₂ (1.15₃ )

n₁ =8b₁ (1.15₄ )

(2a-p₁ ) s+ (a₁ -m₁ ) b+a₂ g=0 (1.16₁ )

2bs+ (2b₁ -n₁ ) b+ (2b₂ -m₁ ) g+2c= 0 (1.16₂ )

(4b₁ -n₁ ) g+2d-p₁ = 0 (1.16₃ )

(a-p₁ ) b+cg+m₁ d= 0 (1.17₁ )

bb+ (d-p₁ ) g-n₁ d= 0 (1.17₂ )

p₁ d= 0 (1.17₃ )

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть d¹0.

Пусть s¹0, тогда из равенств (1.15₁ ), (1.15₃ ), (1.15₄ ) и (1.17₃ ) получаем, что

m₁ =4b₂ , n₁ =8b₁ , a₁ =2b₂ , p₁ =0 (1.18)

А из соотношений (1.16₁ ), (1.16₃ ) и (1.17₁ ) найдем выражения коэффициентов кривой (1.13) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Подставляя коэффициенты s, b, g и d в равенства (1.16₂ ) и (1.17₂ ), получим два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₂ , b₁ , b₂ :

(1.23)

(1.24)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.14) имеет частный интеграл (1.13), коэффициенты которого выражаются формулами (1.19) - (1.22), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.23), (1.24) и b ₁ ¹ 0, b ₂ ¹ 0, a ₁ =2 b ₂ .

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

В разделах 1.1-1.2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых второго порядка при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(1.25)

Причем b₁ ¹0, b₂ ¹0, a₁ ¹0, b₁ a-b₂ b¹0.

Выражая c из первого уравнения системы (1.25), получим

(1.26)