Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка
Пусть 
и
(1.27)
Из первого уравнения системы (1.27) получим
Подставляя во второе уравнение системы (1.27), найдем
.
Из соотношений (1.25) при условиях (1.27) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:
(1.28)
(1.29)
(1.30)
, 
, 
, , 
(1.31)
Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.28) - (1.31), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):
a1 
(1.32)
a2 
(1.33)
a3 
(1.34)
s
(1.35)
b
(1.36)
g
(1.37)
d
(1.38)
Теорема 1.3 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.32) - (1.38), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.28) - (1.31).
Пусть
(1.39)
Из первого уравнения системы (1.39) найдем
, 
.
Подставляя 
во второе уравнение системы (1.39), получим равенство:
(1.40)
Поскольку , то рассмотрим два случая:
, тогда 
.