Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

где .

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Имеем:

Получаем, что . Следовательно, состояний равновесия вне концов оси oyнету.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

d					∞
					x=0
(-∞; 0)	седло	неуст. узел	уст. узел	седло	уст. узел
(0; +∞)	седло	уст. узел	неуст. узел	седло	уст. узел

Положение кривых (2.2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.1 (а, б).

Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведение траекторий системы (2.1).

Исследуя вид кривых (2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А.П. [5] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы (2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.

а (d<0)

б (d>0)

Рис. 1

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

Будем проводить наше исследование в предположении, что

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.41) - (1.42). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

(2.8)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

(2.9)

(2.10)

Частный интеграл (1.13) в этом случае преобразовывается в две прямые (2.10)

1. Найдем состояния равновесия системы (2.8). Для этого приравняем правые части системы нулю

Рассмотрим два случая:

Получаем: