Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

(2.17)

То есть частные интегралы (1.3) и (1.13) преобразовываются в прямые таким образом, что интегральная кривая (2.16) совпадает с одной из прямых интегральной кривой (2.17).

Найдем состояния равновесия системы (2.15). Приравняв правые части системы нулю, и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:

(2.18)

Из (2.18) получаем, что

, , .

Ординаты точек покоя имеют вид:

, , .

Итак, имеем точки

, , .

Исследуем поведения траекторий в окрестностях состояний равновесия .

Исследуем состояние равновесия в точке .

Составим характеристическое уравнение.

Отсюда

(2.19)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид

Имеем

,

Или

.

Характеристическими числами для точки для системы (2.15) будут

.

Корни - комплексные и зависят от параметра d. Значит, если d<0, то точка - устойчивый фокус, если d>0, то точка - неустойчивый фокус.

Исследуем точку