Дипломная работа: Комплексные числа избранные задачи
Символ называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида
.
Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.
Итак, комплексными числами называются выражения вида
,
где и – действительные числа, а – некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число – его мнимой частью. Для их обозначения используются символы
, .
Комплексные числа вида являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.
Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства
, .
Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
.
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
.
1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:
.
2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:
.
3. Коммутативный закон умножения:
.
4. Ассоциативный закон умножения:
.
5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:
.
6. .
7. .
8. .
9. Любому комплексному числу соответствует противоположное комплексное число такое, что .