Дипломная работа: Обработка металла давлением

Узловые перемещения и u связаны между собой матрицей аппроксимирующих функций N:

Наиболее распространенный способ получения приближенных решений на основе использования вариационного уравнения по методу Релея - Ритца. Он заключается в том, что функции перемещений задаются в виде интерполяционного полинома. Если ограничиться полиномом первой степени, то эти функции будут иметь вид:

(2.8)

Здесь a_i - произвольные постоянные. При линейной аппроксимации стороны треугольника после деформирования элемента остаются прямыми.

Выразим a_i через перемещения узлов элемента. В результате матрица N примет вид:

S - площадь сечения элемента:

где r_i , z_i - координаты i-го узла в соответствующих осях.

Деформированное состояние в любой точке тела описывается тензором малых деформаций Коши:

В условиях осесимметричной задачи тензор деформаций второго ранга сводится к вектору:

компоненты которого выражаются через производные перемещений по соответствующим координатам:

Связь между составляющими векторов деформаций и перемещений можно представить одним матричным равенством:

(2.9)

где B – матричный дифференциальный оператор:

(2.10)

Используя (2.9) и (2.10), можно выразить деформации через узловые перемещения

(2.11)

Матрица функций формы C для осесимметричной деформации:

Заметим, что коэффициенты матрицы C зависят от координат r и z точки внутри элемента. Для треугольника с узлами в вершинах координаты r и z можно заменить средними по элементу значениями:

Вектор напряжений s имеет вид:

Выразим с помощью линейного закона, выражаемого матрицей жесткости, напряжения через узловые перемещения