Дипломная работа: Обработка металла давлением
где D – матрица материальных констант.
Потенциальная энергия деформации элемента с учетом (2.11) и (2.12)
. (2.13)
Интеграл в выражении (2.13) есть матрица жесткости выбранного элемента
. (2.14)
Элементарный объем
.
Поэтому матрица жесткости элемента записывается следующим образом:
, (2.15)
где S – площадь элемента.
С учетом проделанных преобразований уравнение равновесия элемента через узловые перемещения выражается в форме:
(2.16)
где K - матрица жесткости; P, - векторы внешних сил и узловых перемещений, соответственно.
При наличии упругих и пластических деформаций связь между напряжениями и деформациями нелинейна. Решение нелинейной системы уравнений весьма трудоемко. Поэтому при использовании деформационной теории часто используют кусочно-линейный закон связи напряжений и деформаций. Тогда при решении задачи в приращениях напряжений D s и деформаций Dе , связь между которыми можно считать линейной, получаем систему линейных уравнений:
(2.17)
Одним из способов решения задачи в приращениях является метод последовательных нагружений. Для квазистатической задачи приращения внешних сил DP вычисляются на шаге по времени Dt . При этом вектор внешних сил P в момент времени t равен:
где n – шаг нагружения.
Таким образом, с учетом вышеизложенного, вариационное уравнение равновесия в матричной записи принимает вид:
(2.18