Дипломная работа: Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Минор a_ij элемента обозначается М _ij .

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^{i + j} .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается А _ij = (-1)^{i + j} × М _ij .

Матрица B называется обратной для матрицы A , если AB = BA = E ,
где E - единичная матрица. Равенство AB = BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СВ, тогда заметим: С=СЕ=С (АВ )= (СА )В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n - го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n - го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n -мерных столбцов)

Тогда =×1=×==

====.
Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Z_n .

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. ПустьA =(a _ij ) –невырожденная квадратная матрица (). Рассмотрим матрицу А ^* = , где А_ij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i -й сроки стоят в i -ом столбце.

Найдем произведение С=АА ^* , где С= (с _ij )

и т.д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:, т.е. . Значит матрица А ^* - обратная к невырожденной матрице А .

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А () имеет обратную А ^* , тогда верными будут следующие равенства: А ·А ^* =Е ,, , .
Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Z_n называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Z_n .

§2 . Обратимые матрицы над полем Z _p

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Z_p , где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. .