Дипломная работа: Оптимизация расстановки транспортных средств на открытых автостоянках в интересах Государственной противопожарной службы
В своей работе Renyi исследовал одномерную задачу о случайном заполнении пространства автостоянки, точнее ряда парковочных мест. Процедура состоит в последовательном расположении автомобилей на отрезке случайным образом. Интервал
заполняется некоторыми одинаковыми отрезками (автомобилями), условно равными по величине 1 и не имеющими общих точек, то есть не пересекающимися. В итоге решения задачи делается вывод о том, что при достаточно больших
эти отрезки заполняют интервал
на 74,8%. Число отрезков
- случайная величина.
Авторы исследуют асимптотическое поведение моментов величины . Доказывается, что величина
(нормированная величина
) имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами
при
.
1.2 Описание предметной области и постановка задачи
Рассмотрим случайный процесс, в котором автомобили длиной «1» паркуются на отрезке где
. Первый автомобиль размещается так, что положение его центра – случайная переменная, имеющая равномерное распределение на отрезке
.
, (a=1)
Если остается пространство для размещения второго автомобиля, то он паркуется так, что его центр – случайная величина, распределенная на отрезке , с расстоянием
от первого автомобиля.
Если на данном отрезке парковки остается пустой промежуток длины , то паркуется третий автомобиль. Его центр – случайная величина, распределенная равномерно, расстояние до разместившихся машин
и так далее до конца отрезка, возможного для парковки.
Обозначим через число машин, занявших место на стоянке. Тогда
для
и
определено для всех
.
Выводы по главе
-задача парковки сводится к исследованию распределения целочисленной случайной величины при
;
-итогом решения задачи является то, что при достаточно больших автомобили заполняют интервал
на 74,8%.
2. Математические методы решения задачи парковки
2.1 Решение задачи парковки
A. Renyiв работе [1] доказал, что математическое ожидание .
удовлетворяет соотношению
(2.1.1)
где постоянная ,
(2.1.2)
В работе [2] соотношение (2.1.1) (2.1.3)
и доказано, что среднее квадратическое отклонение
удовлетворяет соотношению (2.1.4)
где - некоторая постоянная величина.
Кроме того, доказано, что стандартная случайная величина
имеет предельное нормальное распределение с параметрами от (0,1) при .
Доказывается двумя способами:
а) все моменты сходятся к нормальным моментам при
;
б) непосредственное применение центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин.
а) нормальное распределение:
плотность вероятности
функция распределения
б) центральная предельная теорема:
Если , …
- независимо одинаково распределенные случайные величины, и имеющие математическое ожидание
и дисперсию
, то при
закон распределения суммы
: неограниченно приближается к нормальному [6]:
Для решения задачи парковки рассматриваются некоторые интегральные уравнения.
Пусть для интервал
будет случайным интервалом, занятым первой машиной, вставшей на стоянку на отрезке
длины
. Процесс парковки таков, что число машин, которые будут в конце концов размещены от первой, не зависят от числа машин, которые уже размещены на стоянке. При этом число машин, размещенных на отрезке
, имеют распределение
, а число машин на отрезке
имеют распределение
. Следовательно, условное распределение
, при условии, что первая машина занимает
такое же, как распределение
, где
и
независимы, тогда