Дипломная работа: Показательно-степенные уравнения и неравенства

4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.

В самом доле, если ,то — х₁ > — х₂ > 0 , а потому

(—х₁ )² > ( — х₂ )² , т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y =х² является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.

Рис. II.2.

При n = 3 полу­чаем функцию у = х³ , ее свойства:

1) Область определения функции — вся числовая прямая.

2) y = х³ — нечетная функция ( f ( — х) = { — x )² = — х³ = — f ( x )).

3) Функция y = x ³ возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x ³ изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Рис. II.3.

Пусть n — произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = х ⁿ обладаеттеми же свойствами, что и функция у = х² . График такой функ­ции напоминает параболу у = х² , только ветви графика при | n | >1 тем круче идут вверх, чем больше n , а при тем «теснее прижимаются» к оси х , чем больше n .

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = х ⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х³ . График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n . Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = х ⁿ тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х , чем больше n .

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х^{- n} , где n — натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х^{- n} или у = Свойства этойфункции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы,

n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х^{- n} обладает в основном теми жесвойствами, что и функция у = График функции у = х^{- n} (n = 3, 5, 7, ...) напоминает

Рис. II.4.

график функции у = . Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим не­которые свойства функции у = х^-2 , т. е. функции y = .

1) Функция определена при всех х0 .

2) y = четная функция.

3) y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х^{- n} при четном n , большем двух.

График функции у = изображен на рисунке. Ана­логичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .

Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .

Степенная функция с положительным дробным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х ^r , где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этойфункции.

1) Область определения — луч [0; + оо).

2) Функция ни четная, ни нечетная.