Дипломная работа: Показательно-степенные уравнения и неравенства

д) если х > 0, то 0 < а^х < 1 ;

е) если х < 0 , то а^х > 1 .

Рис. II.8.

Глава III . Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.

Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f ( x ) = g ( x ) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f ( x ) и g ( x ) выражения а(х) ^{f ( x )} и

а(х) ^{g ( x )} теряют смысл. То - есть при переходе от к f ( x ) = g ( x ) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

1. а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f ( x ) и g { x ) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

2. а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

3. а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f ( x ) и g ( x ) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

4. При и решаем уравнение f ( x )= g ( x ) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример №1.

Решение

1)x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3² > 0, то x₁ = 3 - это решение.

2)x – 3 = 1, x₂ = 4.

3)x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x₃ = 1.

4)x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x² , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)^{0 =} (-3)⁰ –верно это решение x₄ = 0. При x = 1, (-2)^{1 =} (-2)¹ – верно это решение x₅ = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №2.

Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

1)x – 1 = 0 или x = 1, = 0, 0⁰ это не решение.

2)x – 1=1 x ₁ =2.

3)x – 1 = -1 x₂ = 0 не подходит в ОДЗ.

4) =