Дипломная работа: Похідна Фреше та похідна Гато

,

де

Лінійний оператор називається похідною Фреше відображення в точці та позначається . Тобто, .

Відображення, диференційовне в кожній точці множини G називається диференційовним на G.

Доведемо, що похідна диференційованого відображення визначається однозначно. Нехай – інший неперервний лінійний оператор такий, що

,

якщо . Тоді

,

якщо . Покладемо , де – довільний ненульовий елемент простору X. Якщо , то і ми знаходимо

.

В силу лінійності та це означає, що

,

тобто . Оскільки оператори та в нулі дорівнюють нулю, то при будь-яких . Однозначність визначення похідної доведено.

Приклад 1. Нехай відображення , де і відкрито.

Тоді наведені вище означення диференційовності відображення і похідної співпадають з означеннями диференційовності та похідної векторної функції векторного аргументу. В цьому випадку є лінійним оператором, який визначається матрицею , де – координатні функції відображення .

Приклад 2. Нехай – гільбертов простір, і . Нехай спочатку . Тоді

(1)

Оскільки , то

, (2)

де при . Із рівностей (1) та (2) випливає, що

,

де – лінійний по функціонал і

.

Оскільки , то при . Таким чином, диференційовна в будь-якій ненульовій точці простору і

.

Нехай тепер . Тоді . Покажемо, що не існує елемента такого, що при всіх достатньо малих

, (3)

де при . Якщо б це було так, то також