Дипломная работа: Похідна Фреше та похідна Гато

і , то при , які достатньо близькі до . Тому на інтервалі знайдуться точки, в яких перетворюється на нуль. Нехай – найбільший з коренів рівняння . Ясно, що . Тоді для , звідки для всіх таких маємо

, або .

Таким чином, , що суперечить означенню числа .

Лему доведено.

Наслідок 1. Якщо в умовах леми , то

.

Наслідок 2. Якщо при виконанні умов леми додатково неперервна на інтервалі , то неперервно диференційовна на .

Доведення. Нехай і настільки мале, що . Покладемо

, .

Згідно леми

.

Оскільки і прямують до при , то з попередньої нерівності випливає, що похідна

існує та неперервна по , оскільки така права похідна .

Наслідок 2 доведено.

Теорема 1. Нехай відображення неперервне на , і відрізок цілком належить . Якщо диференційовне за напрямком у всіх точках відрізку , то

.

Доведення. Розглянемо функцію

,

де – довільний неперервний лінійний функціонал на просторі . Функція неперервна на , має на праву похідну . Дійсно, нехай і . Маємо

,

де при . Але тоді і, тому, існує

.

За наслідком 1 з леми 1 маємо

.

Оскільки , то ця нерівність дає

.

Нехай функціонал такий, що . Тоді