Дипломная работа: Похідна Фреше та похідна Гато
і , то
при
, які достатньо близькі до
. Тому на інтервалі
знайдуться точки, в яких
перетворюється на нуль. Нехай
– найбільший з коренів рівняння
. Ясно, що
. Тоді
для
, звідки для всіх таких
маємо
, або
.
Таким чином, , що суперечить означенню числа
.
Лему доведено.
Наслідок 1. Якщо в умовах леми , то
.
Наслідок 2. Якщо при виконанні умов леми додатково неперервна на інтервалі
, то
неперервно диференційовна на
.
Доведення. Нехай і
настільки мале, що
. Покладемо
,
.
Згідно леми
.
Оскільки і
прямують до
при
, то з попередньої нерівності випливає, що похідна
існує та неперервна по , оскільки така права похідна
.
Наслідок 2 доведено.
Теорема 1. Нехай відображення неперервне на
,
і відрізок
цілком належить
. Якщо
диференційовне за напрямком
у всіх точках відрізку
, то
.
Доведення. Розглянемо функцію
,
де – довільний неперервний лінійний функціонал на просторі
. Функція
неперервна на
,
має на
праву похідну
. Дійсно, нехай
і
. Маємо
,
де при
. Але тоді
і, тому, існує
.
За наслідком 1 з леми 1 маємо
.
Оскільки , то ця нерівність дає
.
Нехай функціонал такий, що
. Тоді